Vergelijkingen oplossen: balans en grafiek

Stel je een marktkraam voor met een ouderwetse weegschaal: een balk met aan elke kant een schaal. Er liggen zakjes die allemaal even zwaar zijn, maar niemand weet hoe zwaar. Noem dat gewicht x.

Links liggen 4 zakjes. Aan die schaal hangt ook een ballon die 5 omhoog trekt. Rechts liggen 2 zakjes en een gewicht van 9. De weegschaal hangt precies recht. In wiskunde schrijf je dat zo:

4x − 5 = 2x + 9

Het =-teken is de weegschaal in evenwicht. Een vergelijking oplossen betekent: uitzoeken hoe zwaar één zakje is.

De balansmethode

De regel is kort: wat je aan de ene kant doet, doe je ook aan de andere kant. Dan blijft de weegschaal recht. Haal je links iets weg en rechts niet, dan slaat hij door.

Probeer het hieronder. Kies bij elke stap een knop. De ene knop houdt de weegschaal recht, de andere niet.

Los 4x − 5 = 2x + 9 op met de weegschaal

1. 4x − 5 = 2x + 9

Kies je volgende stap

Breng 2x naar links als +2x−2x aan beide kanten

Op papier ziet het er zo uit. Achter de streep staat wat je aan beide kanten doet.

4x − 5 = 2x + 9 | −2x
2x − 5 = 9 | +5
2x = 14 | ÷2
x = 7

Controleer altijd je antwoord. Vul x = 7 in aan beide kanten:

4 × 7 − 5 = 28 − 5 = 23
2 × 7 + 9 = 14 + 9 = 23

Beide kanten zijn 23. De weegschaal klopt, dus x = 7 is goed. Elk zakje weegt 7.

Haakjes en breuken

Staan er haakjes in de vergelijking, werk die dan eerst weg. Het getal voor de haakjes gaat keer elke term binnen de haakjes. Let op het teken: bij 3 − 2(x + 2) hoort het minteken bij de 2.

Haakjes wegwerken

• −2 × x = −2x
• −2 × 2 = −4

Nu de hele vergelijking, stap voor stap:

3 − 2(x + 2) = 7
3 − 2x − 4 = 7
−2x − 1 = 7 | +1
−2x = 8 | ÷(−2)
x = −4

Controle: 3 − 2 × (−4 + 2) = 3 − 2 × (−2) = 3 + 4 = 7. Klopt.

Breuken maak je eerst kwijt. Vermenigvuldig beide kanten met de kleinste gemeenschappelijke noemer. Neem deze vergelijking:

x + 12 − x3 = 2

De noemers zijn 2 en 3. Het kleinste getal waar ze allebei in passen is 6. Doe elke term keer 6:

6 × x + 12 = 3(x + 1)
6 × x3 = 2x
6 × 2 = 12

Zet de haakjes om x + 1, want de hele teller gaat keer 3. Daarna is het een gewone vergelijking:

3(x + 1) − 2x = 12
3x + 3 − 2x = 12
x + 3 = 12 | −3
x = 9

Controle: (9 + 1) ÷ 2 − 9 ÷ 3 = 5 − 3 = 2. Klopt.

Twee lijnen die elkaar snijden

Je kunt elke kant van een vergelijking ook als lijn tekenen. Bij 4x − 5 = 2x + 9 zijn dat y = 4x − 5 en y = 2x + 9. Waar de lijnen elkaar snijden, hebben ze dezelfde y. Daar zijn de twee kanten dus gelijk. De x van het snijpunt is de oplossing.

Twee lijnen, één vergelijking

Lijn 1: y = ax + b

a = 4b = −5

Lijn 2: y = cx + d

c = 2d = 9

• Lijn 1: y = 4x − 5
• Lijn 2: y = 2x + 9

Vergelijking

4x − 5 = 2x + 9

Oplossing

x = 7

Snijpunt

(7; 23)

Toon de getallen

x	Lijn 1	Lijn 2
−10	−45	−11
−8	−37	−7
−6	−29	−3
−4	−21	1
−2	−13	5
0	−5	9
2	3	13
4	11	17
6	19	21
8	27	25
10	35	29

Het snijpunt is (7; 23). Dus x = 7, en beide kanten zijn dan 23. Dat zijn dezelfde getallen als bij de controle.

Schuif nu zo dat a = c. De lijnen zijn dan even steil. Er kunnen twee dingen gebeuren:

• Is b niet gelijk aan d, dan lopen de lijnen evenwijdig. Ze snijden nooit, dus er is geen oplossing.
• Is b ook gelijk aan d, dan liggen de lijnen op elkaar. Dan is elke x een oplossing.

Zo los je een bekende toetsvraag op: voor welke a en b heeft 5x + 6 = ax + b geen oplossing? Breng alles met x naar links en de rest naar rechts:

5x − ax = b − 6
(5 − a)x = b − 6

• Is a niet 5, dan deel je door 5 − a. Er is precies één oplossing.
• Is a = 5, dan staat er 0 = b − 6. Is b niet 6, dan klopt dat nooit: geen oplossing.
• Is a = 5 en b = 6, dan staat er 0 = 0. Dat klopt voor elke x.

Het antwoord: a = 5 en b is elk getal behalve 6. Zie je het in de grafiek? Zet lijn 1 op a = 5 en b = 6. Zet lijn 2 op c = 5 en schuif met d.

Vergelijkingen met x²

Staat er een x² in, dan heb je een tweedegraadsvergelijking. Die heeft vaak twee oplossingen. Begin met de eenvoudigste:

x² = 8

Je zoekt een getal dat keer zichzelf 8 is. Dat is √8, maar ook −√8, want min keer min is plus.

x = −√8 of x = √8

Je kunt √8 vereenvoudigen: √8 = √(4 × 2) = 2√2 ≈ 2,83. Dus x = −2√2 of x = 2√2, kort: x = ±2√2.

In de grafiek zie je waarom er twee zijn. De lijn y = 8 snijdt y = x² links en rechts, even ver van 0.

x² = k heeft twee, één of geen oplossing

Schuif k: x² = 8

• y = x²
• y = 8

Twee oplossingen

x = −√8 = −2√2 ≈ −2,83 of x = √8 = 2√2 ≈ 2,83

Toon de getallen

x	x²
−6	36
−5	25
−4	16
−3	9
−2	4
−1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36

Schuif k onder 0. Dan raakt de lijn de grafiek nergens meer, want een kwadraat is nooit negatief. Bij k = 0 is er precies één oplossing: x = 0.

Ontbinden in factoren

Neem x² − 4x − 21 = 0. Zoek twee getallen die keer elkaar −21 zijn en samen −4. Dat zijn −7 en 3, want −7 × 3 = −21 en −7 + 3 = −4. Dan:

x² − 4x − 21 = 0
(x − 7)(x + 3) = 0

Nu helpt één regel: als een product 0 is, dan is een van de factoren 0. Twee getallen keer elkaar geven alleen 0 als een van de twee 0 is.

x − 7 = 0 of x + 3 = 0
x = 7 of x = −3

Controle: 7² − 4 × 7 − 21 = 49 − 28 − 21 = 0 en (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0. Klopt.

Zorg eerst dat er aan één kant 0 staat. De regel werkt alleen bij = 0.

De abc-formule

Niet elke vergelijking is makkelijk te ontbinden. De abc-formule werkt altijd. Schrijf de vergelijking als ax² + bx + c = 0, met a niet 0. Reken eerst de discriminant uit:

D = b² − 4ac

De discriminant beslist hoeveel oplossingen er zijn:

• D > 0: twee oplossingen.
• D = 0: één oplossing.
• D < 0: geen oplossing, want uit een negatief getal kun je geen wortel trekken.

Is D niet negatief, dan zijn de oplossingen:

x = −b − √D2a of x = −b + √D2a

Voor x² − 4x − 21 = 0 is a = 1, b = −4 en c = −21:

D = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = 4 − 102 = −3 of x = 4 + 102 = 7

Dat zijn dezelfde oplossingen als bij het ontbinden. Schuif hieronder met a, b en c en kijk wat D doet.

De abc-formule

a = 1b = −4c = −21

x² − 4x − 21 = 0

D = b² − 4ac

(−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100

D > 0: twee oplossingen

x = −3 of x = 7

Probeer het zelf