Resolver equações: balança e gráfico

Imagine uma barraca de feira com uma balança antiga: uma barra com um prato em cada ponta. Na barraca há saquinhos que pesam todos a mesma coisa, mas ninguém sabe quanto. Vamos chamar esse peso de x.

No prato da esquerda há 4 saquinhos. Nesse prato também está amarrado um balão que puxa para cima com 5. No prato da direita há 2 saquinhos e um peso de 9. A balança fica perfeitamente equilibrada. Em matemática, você escreve assim:

4x − 5 = 2x + 9

O sinal de = é a balança em equilíbrio. Resolver a equação é descobrir quanto pesa um saquinho.

O método da balança

A regra é curta: o que você faz de um lado, faz também do outro. Assim a balança continua equilibrada. Se você tira algo da esquerda e não da direita, ela pende.

Experimente abaixo. Em cada passo, escolha um botão. Um deles mantém a balança equilibrada, o outro não.

Resolva 4x − 5 = 2x + 9 na balança

1. 4x − 5 = 2x + 9

Escolha o próximo passo

Passe 2x para a esquerda como +2x−2x nos dois lados

No caderno fica assim. Depois da barra vem o que você faz nos dois lados.

4x − 5 = 2x + 9 | −2x
2x − 5 = 9 | +5
2x = 14 | ÷2
x = 7

Sempre confira sua resposta. Substitua x = 7 nos dois lados:

4 × 7 − 5 = 28 − 5 = 23
2 × 7 + 9 = 14 + 9 = 23

Os dois lados dão 23. A balança fecha, então x = 7 está certo. Cada saquinho pesa 7.

Parênteses e frações

Se a equação tem parênteses, tire os parênteses primeiro. O número na frente multiplica cada termo de dentro. Atenção ao sinal: em 3 − 2(x + 2), o menos vai junto com o 2.

Tirando os parênteses

• −2 × x = −2x
• −2 × 2 = −4

Agora a equação inteira, passo a passo:

3 − 2(x + 2) = 7
3 − 2x − 4 = 7
−2x − 1 = 7 | +1
−2x = 8 | ÷(−2)
x = −4

Verificação: 3 − 2 × (−4 + 2) = 3 − 2 × (−2) = 3 + 4 = 7. Certo.

As frações saem primeiro. Multiplique os dois lados pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Veja esta equação:

x + 12 − x3 = 2

Os denominadores são 2 e 3. O MMC é 6. Multiplique cada termo por 6:

6 × x + 12 = 3(x + 1)
6 × x3 = 2x
6 × 2 = 12

Mantenha os parênteses em x + 1, porque o numerador inteiro é multiplicado por 3. Depois disso, é uma equação comum:

3(x + 1) − 2x = 12
3x + 3 − 2x = 12
x + 3 = 12 | −3
x = 9

Verificação: (9 + 1) ÷ 2 − 9 ÷ 3 = 5 − 3 = 2. Certo.

Duas retas que se cruzam

Você também pode desenhar cada lado de uma equação como uma reta. Para 4x − 5 = 2x + 9, são as retas y = 4x − 5 e y = 2x + 9. Onde as retas se cruzam, elas têm o mesmo y. Ali os dois lados são iguais. O x do ponto de encontro é a solução.

Duas retas, uma equação

Reta 1: y = ax + b

a = 4b = −5

Reta 2: y = cx + d

c = 2d = 9

• Reta 1: y = 4x − 5
• Reta 2: y = 2x + 9

Equação

4x − 5 = 2x + 9

Solução

x = 7

Ponto de encontro

(7; 23)

Ver os números

x	Reta 1	Reta 2
−10	−45	−11
−8	−37	−7
−6	−29	−3
−4	−21	1
−2	−13	5
0	−5	9
2	3	13
4	11	17
6	19	21
8	27	25
10	35	29

O ponto de encontro é (7; 23). Então x = 7, e os dois lados valem 23. São os mesmos números da verificação.

Agora mexa até que a = c. As retas ficam com a mesma inclinação. Duas coisas podem acontecer:

• Se b é diferente de d, as retas são paralelas. Elas nunca se cruzam, então não há solução.
• Se b também é igual a d, uma reta fica em cima da outra. Então qualquer x é solução.

É assim que se resolve uma questão clássica de prova: para quais valores de a e b a equação 5x + 6 = ax + b não tem solução? Passe tudo que tem x para a esquerda e o resto para a direita:

5x − ax = b − 6
(5 − a)x = b − 6

• Se a não é 5, você divide por 5 − a. Há exatamente uma solução.
• Se a = 5, sobra 0 = b − 6. Se b não é 6, isso nunca é verdade: não há solução.
• Se a = 5 e b = 6, sobra 0 = 0. Isso vale para qualquer x.

A resposta: a = 5 e b qualquer número diferente de 6. Para ver no gráfico, coloque a reta 1 em a = 5 e b = 6. Coloque a reta 2 em c = 5 e mexa em d.

Equações com x²

Se aparece um x², você tem uma equação do segundo grau. Muitas vezes ela tem duas soluções. Comece pela mais simples:

x² = 8

Você procura um número que, multiplicado por ele mesmo, dá 8. Esse número é √8, mas também −√8, porque menos vezes menos dá mais.

x = −√8 ou x = √8

Dá para simplificar √8: √8 = √(4 × 2) = 2√2 ≈ 2,83. Então x = −2√2 ou x = 2√2, ou seja, x = ±2√2.

O gráfico mostra por que são duas. A reta y = 8 cruza y = x² à esquerda e à direita, à mesma distância do 0.

x² = k tem duas, uma ou nenhuma solução

Mexa em k: x² = 8

• y = x²
• y = 8

Duas soluções

x = −√8 = −2√2 ≈ −2,83 ou x = √8 = 2√2 ≈ 2,83

Ver os números

x	x²
−6	36
−5	25
−4	16
−3	9
−2	4
−1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36

Coloque k abaixo de 0. A reta deixa de tocar o gráfico, porque um quadrado nunca é negativo. Com k = 0 há exatamente uma solução: x = 0.

Fatorar

Veja x² − 4x − 21 = 0. Procure dois números que multiplicados dão −21 e somados dão −4. São −7 e 3, porque −7 × 3 = −21 e −7 + 3 = −4. Então:

x² − 4x − 21 = 0
(x − 7)(x + 3) = 0

Agora uma regra faz o trabalho: se um produto é 0, um dos fatores é 0. Dois números multiplicados só dão 0 se um deles for 0.

x − 7 = 0 ou x + 3 = 0
x = 7 ou x = −3

Verificação: 7² − 4 × 7 − 21 = 49 − 28 − 21 = 0 e (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0. Certo.

Primeiro garanta que um dos lados seja 0. A regra só funciona com = 0.

A fórmula de Bhaskara

Nem toda equação é fácil de fatorar. A fórmula de Bhaskara funciona sempre. Escreva a equação como ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0. Primeiro calcule o discriminante. Muitos livros o chamam de Δ; aqui ele se chama D:

D = b² − 4ac

O discriminante decide quantas soluções existem:

• D > 0: duas soluções.
• D = 0: uma solução.
• D < 0: nenhuma solução, porque não existe raiz quadrada de número negativo entre os números reais.

Se D não é negativo, as soluções são:

x = −b − √D2a ou x = −b + √D2a

Para x² − 4x − 21 = 0, você tem a = 1, b = −4 e c = −21:

D = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = 4 − 102 = −3 ou x = 4 + 102 = 7

São as mesmas soluções da fatoração. Mexa em a, b e c abaixo e veja o que acontece com D.

A fórmula de Bhaskara

a = 1b = −4c = −21

x² − 4x − 21 = 0

D = b² − 4ac

(−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100

D > 0: duas soluções

x = −3 ou x = 7

Agora é com você