Resolver ecuaciones: balanza y gráfica

Imagina un puesto del mercado con una balanza antigua: una barra con un platillo en cada extremo. Hay bolsas que pesan todas lo mismo, pero nadie sabe cuánto. A ese peso lo llamamos x.

En el platillo izquierdo hay 4 bolsas. Ese platillo también tiene atado un globo que tira hacia arriba con 5. En el platillo derecho hay 2 bolsas y una pesa de 9. La balanza queda perfectamente nivelada. En matemáticas se escribe así:

4x − 5 = 2x + 9

El signo = es la balanza en equilibrio. Resolver la ecuación es averiguar cuánto pesa una bolsa.

El método de la balanza

La regla es corta: lo que haces en un lado, lo haces también en el otro. Así la balanza sigue nivelada. Si quitas algo a la izquierda y no a la derecha, se inclina.

Pruébalo abajo. En cada paso, elige un botón. Uno mantiene la balanza nivelada y el otro no.

Resuelve 4x − 5 = 2x + 9 con la balanza

1. 4x − 5 = 2x + 9

Elige tu siguiente paso

Pasa 2x a la izquierda como +2x−2x en ambos lados

En el cuaderno se ve así. Después de la barra va lo que haces en ambos lados.

4x − 5 = 2x + 9 | −2x
2x − 5 = 9 | +5
2x = 14 | ÷2
x = 7

Comprueba siempre tu respuesta. Sustituye x = 7 en ambos lados:

4 × 7 − 5 = 28 − 5 = 23
2 × 7 + 9 = 14 + 9 = 23

Los dos lados dan 23. La balanza cuadra, así que x = 7 es correcto. Cada bolsa pesa 7.

Paréntesis y fracciones

Si la ecuación tiene paréntesis, primero quítalos. El número delante del paréntesis multiplica a cada término de adentro. Fíjate en el signo: en 3 − 2(x + 2), el menos va con el 2.

Quitar los paréntesis

• −2 × x = −2x
• −2 × 2 = −4

Ahora la ecuación completa, paso a paso:

3 − 2(x + 2) = 7
3 − 2x − 4 = 7
−2x − 1 = 7 | +1
−2x = 8 | ÷(−2)
x = −4

Comprobación: 3 − 2 × (−4 + 2) = 3 − 2 × (−2) = 3 + 4 = 7. Correcto.

Las fracciones se eliminan primero. Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador. Toma esta ecuación:

x + 12 − x3 = 2

Los denominadores son 2 y 3. El número más pequeño que es múltiplo de los dos es 6. Multiplica cada término por 6:

6 × x + 12 = 3(x + 1)
6 × x3 = 2x
6 × 2 = 12

Deja el paréntesis en x + 1, porque todo el numerador se multiplica por 3. Después es una ecuación normal:

3(x + 1) − 2x = 12
3x + 3 − 2x = 12
x + 3 = 12 | −3
x = 9

Comprobación: (9 + 1) ÷ 2 − 9 ÷ 3 = 5 − 3 = 2. Correcto.

Dos rectas que se cortan

También puedes dibujar cada lado de una ecuación como una recta. Para 4x − 5 = 2x + 9 son la recta y = 4x − 5 y la recta y = 2x + 9. Donde las rectas se cortan, tienen la misma y. Ahí los dos lados son iguales. La x del punto de corte es la solución.

Dos rectas, una ecuación

Recta 1: y = ax + b

a = 4b = −5

Recta 2: y = cx + d

c = 2d = 9

• Recta 1: y = 4x − 5
• Recta 2: y = 2x + 9

Ecuación

4x − 5 = 2x + 9

Solución

x = 7

Punto de corte

(7, 23)

Ver los números

x	Recta 1	Recta 2
−10	−45	−11
−8	−37	−7
−6	−29	−3
−4	−21	1
−2	−13	5
0	−5	9
2	3	13
4	11	17
6	19	21
8	27	25
10	35	29

El punto de corte es (7, 23). Entonces x = 7, y los dos lados valen 23. Son los mismos números de la comprobación.

Ahora mueve los controles hasta que a = c. Las rectas tienen entonces la misma inclinación. Pueden pasar dos cosas:

• Si b no es igual a d, las rectas son paralelas. Nunca se cortan, así que no hay solución.
• Si b también es igual a d, las rectas quedan una encima de la otra. Entonces cualquier x es solución.

Así se resuelve una pregunta clásica de examen: ¿para qué valores de a y b la ecuación 5x + 6 = ax + b no tiene solución? Pasa todo lo que tiene x a la izquierda y el resto a la derecha:

5x − ax = b − 6
(5 − a)x = b − 6

• Si a no es 5, divides entre 5 − a. Hay exactamente una solución.
• Si a = 5, queda 0 = b − 6. Si b no es 6, eso nunca se cumple: no hay solución.
• Si a = 5 y b = 6, queda 0 = 0. Eso se cumple para cualquier x.

La respuesta: a = 5 y b cualquier número menos 6. Para verlo en la gráfica, pon la recta 1 en a = 5 y b = 6. Pon la recta 2 en c = 5 y mueve d.

Ecuaciones con x²

Si aparece un x², tienes una ecuación cuadrática. Muchas veces tiene dos soluciones. Empieza por la más sencilla:

x² = 8

Buscas un número que, multiplicado por sí mismo, dé 8. Ese número es √8, pero también −√8, porque menos por menos da más.

x = −√8 o x = √8

Puedes simplificar √8: √8 = √(4 × 2) = 2√2 ≈ 2.83. Así que x = −2√2 o x = 2√2, o sea, x = ±2√2.

La gráfica muestra por qué son dos. La recta y = 8 corta a y = x² a la izquierda y a la derecha, a la misma distancia del 0.

x² = k tiene dos, una o ninguna solución

Mueve k: x² = 8

• y = x²
• y = 8

Dos soluciones

x = −√8 = −2√2 ≈ −2.83 o x = √8 = 2√2 ≈ 2.83

Ver los números

x	x²
−6	36
−5	25
−4	16
−3	9
−2	4
−1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36

Baja k por debajo de 0. La recta ya no toca la gráfica, porque un cuadrado nunca es negativo. Con k = 0 hay exactamente una solución: x = 0.

Factorizar

Toma x² − 4x − 21 = 0. Busca dos números que multiplicados den −21 y sumados den −4. Son −7 y 3, porque −7 × 3 = −21 y −7 + 3 = −4. Entonces:

x² − 4x − 21 = 0
(x − 7)(x + 3) = 0

Ahora una sola regla hace el trabajo: si un producto es 0, uno de los factores es 0. Dos números multiplicados solo dan 0 si uno de ellos es 0.

x − 7 = 0 o x + 3 = 0
x = 7 o x = −3

Comprobación: 7² − 4 × 7 − 21 = 49 − 28 − 21 = 0 y (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0. Correcto.

Primero asegúrate de que un lado sea 0. La regla solo funciona con = 0.

La fórmula general

No todas las ecuaciones se factorizan fácilmente. La fórmula general funciona siempre. Escribe la ecuación como ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Primero calcula el discriminante:

D = b² − 4ac

El discriminante decide cuántas soluciones hay:

• D > 0: dos soluciones.
• D = 0: una solución.
• D < 0: ninguna solución, porque no puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Si D no es negativo, las soluciones son:

x = −b − √D2a o x = −b + √D2a

Para x² − 4x − 21 = 0 tienes a = 1, b = −4 y c = −21:

D = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = 4 − 102 = −3 o x = 4 + 102 = 7

Son las mismas soluciones que al factorizar. Mueve a, b y c abajo y mira qué pasa con D.

La fórmula general

a = 1b = −4c = −21

x² − 4x − 21 = 0

D = b² − 4ac

(−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100

D > 0: dos soluciones

x = −3 o x = 7

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