Pitágoras en el plano y en el espacio

Apoya una escalera contra una pared. La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo con un ángulo recto. El teorema de Pitágoras trata de triángulos así. Si conoces dos lados, puedes calcular el tercero.

Primero verás por qué el teorema es cierto. Después lo usarás en cuatro situaciones, desde un plano hasta una caja.

Reconocer la hipotenusa

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. En un dibujo lo marcas con un cuadradito.

• Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos. Los llamamos a y b.
• El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. La llamamos c.

La hipotenusa siempre es el lado más largo. Gira el triángulo de abajo. Cada vez queda en otra posición, pero c sigue enfrente del cuadradito.

Gira el triángulo

• Catetos a y b
• Hipotenusa c

Giro = 0°

Por qué a² + b² = c²

Dibuja un cuadrado sobre cada lado. El cuadrado sobre el lado a tiene área a². Del mismo modo obtienes b² y c². El teorema de Pitágoras dice:

a² + b² = c²

En palabras: los cuadrados sobre los dos catetos juntos son tan grandes como el cuadrado sobre la hipotenusa.

Arrastra los dos vértices o usa los deslizadores. El triángulo empieza con a = 3 y b = 4.

Arrastra los vértices

• Cuadrado sobre a
• Cuadrado sobre b
• Cuadrado sobre la hipotenusa c

a = 3b = 4

a² + b²

3² + 4² = 9 + 16 = 25

c

√25 = 5

Ver los números

Lado	Longitud	Área
a	3	9
b	4	16
c	5	25

• Con a = 3 y b = 4 cuentas 9 y 16 casillas. Juntas son 25. El cuadrado grande también tiene 25 casillas, así que c = 5.
• Con a = 1 y b = 2, c² = 1 + 4 = 5. Entonces c = √5 ≈ 2.24. No es un número entero, pero las áreas siguen cuadrando.

La demostración con cuatro triángulos

Unos cuantos ejemplos todavía no demuestran nada. Esta demostración vale para cualquier triángulo rectángulo.

Toma un cuadrado grande de lado a + b. Coloca dentro cuatro copias del mismo triángulo, con catetos a y b. Hay dos maneras de hacerlo. Toca los botones para cambiar.

Por qué siempre funciona

Triángulos en las esquinasTriángulos en parejas

Sobra un cuadrado inclinado: c².

• Con los triángulos en las esquinas, en el centro sobra un cuadrado inclinado. Sus lados son hipotenusas, así que su área es c².
• Con los triángulos en parejas, sobran dos cuadrados. Uno mide a por a y el otro b por b. Juntos suman a² + b².

El cuadrado grande es el mismo las dos veces. Los cuatro triángulos también. Por eso lo que sobra también mide lo mismo: c² = a² + b².

La pieza inclinada de verdad es un cuadrado. En cada uno de sus vértices están los dos ángulos agudos del triángulo. Juntos suman 90°, porque los tres ángulos de un triángulo suman 180°. Un ángulo llano también mide 180°. Así que para el ángulo de la pieza del centro quedan 180° − 90° = 90°.

Calcular un lado

La hipotenusa

Los catetos miden 6 y 8. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Escribe cada paso en una línea nueva.

c² = a² + b²
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = √100 = 10

La hipotenusa mide 10. Comprobación: 10 es más largo que 6 y más largo que 8, pero más corto que 6 + 8 = 14.

Muchas veces no sale un número entero. Con catetos 5 y 7:

c² = 5² + 7²
c² = 25 + 49
c² = 74
c = √74 ≈ 8.60

Un cateto

La hipotenusa mide 13 y un cateto mide 5. Empieza otra vez con a² + b² = c² y pon cada número en su lugar. El 13 es c, porque está enfrente del ángulo recto.

a² + b² = c²
5² + b² = 13²
25 + b² = 169
b² = 169 − 25
b² = 144
b = √144 = 12

Comprobación: 12 es más corto que 13. Si hubieras sumado por error, te daría √194 ≈ 13.93. Eso es más largo que la hipotenusa, así que no puede ser.

En resumen:

• Para hallar la hipotenusa, sumas los cuadrados.
• Para hallar un cateto, restas el cuadrado pequeño del grande.

Aplicación: la escalera

Una escalera de 5 metros está apoyada en una pared. Su pie está a 1.4 metros de la pared. ¿Hasta qué altura llega? La escalera es la hipotenusa. La altura h es un cateto.

h² + 1.4² = 5²
h² + 1.96 = 25
h² = 25 − 1.96
h² = 23.04
h = √23.04 = 4.8

La escalera llega a 4.8 metros de altura.

Comprobar un ángulo recto

El teorema también funciona al revés. Toma un triángulo con lados a, b y c, donde c es el más largo. Si a² + b² = c², el ángulo opuesto a c mide exactamente 90°. Si no, el triángulo no tiene ángulo recto.

Un triángulo con lados 5, 12 y 13. El lado más largo es 13.

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
169 = 169, así que el ángulo opuesto a 13 es recto.

Un triángulo con lados 6, 7 y 9. El lado más largo es 9.

6² + 7² = 36 + 49 = 85
9² = 81
85 ≠ 81, así que el triángulo no tiene ángulo recto.

La diferencia es solo 4. El ángulo opuesto a 9 mide unos 87.3°. A simple vista parece recto, pero no lo es. Elige un triángulo abajo y compara.

Recto o no

Elige un triángulo

3, 4, 55, 12, 138, 15, 176, 7, 92, 3, 4

• Lado más largo
• Los otros dos lados

a² + b²

6² + 7² = 36 + 49 = 85

c²

9² = 81

Ángulo opuesto al lado más largo

≈ 87.3°

Conclusión

a² + b² es mayor que c², así que el ángulo es agudo: menor que 90°.

Ver los números

Lados	a² + b²	c²	Ángulo
3, 4, 5	25	25	90°
5, 12, 13	169	169	90°
8, 15, 17	289	289	90°
6, 7, 9	85	81	≈ 87.3°
2, 3, 4	13	16	≈ 104.5°

La diferencia también te dice algo:

• Si a² + b² es mayor que c², el ángulo más grande es agudo: menor que 90°.
• Si a² + b² es menor que c², ese ángulo es obtuso: mayor que 90°. Con 2, 3 y 4, 4 + 9 = 13 es menor que 16. El ángulo mide unos 104.5°.

Los carpinteros usan esto para trazar un ángulo recto. Miden 30 cm por un lado y 40 cm por el otro. Si la distancia entre las dos marcas es exactamente 50 cm, el ángulo es recto. Es porque 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50².

La distancia entre dos puntos

En un plano cartesiano no siempre puedes contar la distancia entre dos puntos por las líneas de la cuadrícula. Una línea inclinada cruza las casillas. Pero puedes hacer un escalón: primero de lado, después hacia arriba. Esos dos pasos y la línea inclinada forman un triángulo rectángulo.

Toma A(−3, −2) y B(1, 1).

de lado: 1 − (−3) = 4
hacia arriba: 1 − (−2) = 3
AB² = 4² + 3²
AB² = 16 + 9
AB² = 25
AB = √25 = 5

Arrastra A y B abajo. También puedes tocar la cuadrícula. Entonces el punto más cercano salta ahí.

Arrastra los puntos

• Paso de lado y paso hacia arriba
• Distancia AB

A, B

(−3, −2), (1, 1)

De lado

1 − (−3) = 4

Arriba o abajo

1 − (−2) = 3

AB

√(4² + 3²) = √25 = 5

Ver los números

Punto	x	y
A	−3	−2
B	1	1

Como fórmula, con A(x_A, y_A) y B(x_B, y_B):

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)

El orden no importa. Un paso negativo se vuelve positivo al elevarlo al cuadrado.

Otro ejemplo: A(−2, 1) y B(4, 9).

x_B − x_A = 4 − (−2) = 6
y_B − y_A = 9 − 1 = 8
AB² = 6² + 8²
AB² = 36 + 64
AB² = 100
AB = √100 = 10

En el espacio: la diagonal de una caja

Una caja mide 4 de largo, 3 de ancho y 12 de alto. La diagonal espacial va de una esquina de abajo, atravesando la caja, hasta la esquina opuesta de arriba. La calculas en dos pasos, usando Pitágoras dos veces.

Paso 1: la diagonal de la base. La base es un rectángulo de 4 por 3. Su diagonal d es la hipotenusa de un triángulo sobre la base.

d² = 4² + 3²
d² = 16 + 9
d² = 25
d = √25 = 5

Paso 2: la diagonal espacial. La diagonal de la base y una arista vertical forman un ángulo recto. La diagonal espacial D es la hipotenusa de ese triángulo vertical.

D² = d² + 12²
D² = 25 + 144
D² = 169
D = √169 = 13

Cambia el largo, el ancho y el alto con los deslizadores.

La diagonal de una caja

Largo = 4Ancho = 3Alto = 12

• Diagonal de la base
• Diagonal espacial

Diagonal de la base

√(4² + 3²) = √25 = 5

Diagonal espacial

√(25 + 12²) = √169 = 13

Ver los números

Medida	Valor
Largo	4
Ancho	3
Alto	12
Diagonal de la base	√25 = 5
Diagonal espacial	√169 = 13

En el paso 2 usas d² = 25. Así que no necesitas la raíz del paso 1. Por eso también puedes hacerlo de una vez:

D = √(largo² + ancho² + alto²)
D = √(4² + 3² + 12²)
D = √(16 + 9 + 144)
D = √169 = 13

¿Cabe un palo de 60 cm en una caja de 40 por 30 por 30 cm?

d² = 40² + 30²
d² = 1600 + 900
d² = 2500
D² = 2500 + 30²
D² = 2500 + 900
D² = 3400
D = √3400 ≈ 58.3

La línea más larga dentro de la caja mide unos 58.3 cm. Así que el palo de 60 cm no cabe.

Inténtalo tú