Pythagoras in het vlak en in de ruimte

Zet een ladder tegen een muur. De ladder, de muur en de grond vormen samen een driehoek met een rechte hoek. De stelling van Pythagoras gaat over zulke driehoeken. Ken je twee zijden, dan reken je de derde uit.

Eerst zie je waarom de stelling klopt. Daarna gebruik je hem in vier situaties, van een plat vlak tot een doos.

De schuine zijde vinden

Een rechthoekige driehoek heeft één hoek van 90°. In een tekening zet je daar een klein vierkantje in.

• De twee zijden die de rechte hoek maken, heten de rechthoekszijden. Die noemen we a en b.
• De zijde tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde. Die noemen we c.

De schuine zijde is altijd de langste zijde. Draai de driehoek hieronder. Hij ligt steeds anders, maar c blijft tegenover het vierkantje.

Draai de driehoek

• Rechthoekszijden a en b
• Schuine zijde c

Draaiing = 0°

Waarom a² + b² = c²

Teken op elke zijde een vierkant. Het vierkant op zijde a heeft oppervlakte a². Zo krijg je ook b² en c². De stelling van Pythagoras zegt:

a² + b² = c²

In woorden: de vierkanten op de twee rechthoekszijden zijn samen even groot als het vierkant op de schuine zijde.

Sleep de twee hoekpunten, of gebruik de schuifjes. De driehoek begint met a = 3 en b = 4.

Sleep de hoekpunten

• Vierkant op a
• Vierkant op b
• Vierkant op de schuine zijde c

a = 3b = 4

a² + b²

3² + 4² = 9 + 16 = 25

c

√25 = 5

Toon de getallen

Zijde	Lengte	Oppervlakte
a	3	9
b	4	16
c	5	25

• Bij a = 3 en b = 4 tel je 9 en 16 hokjes. Samen is dat 25. Het grote vierkant heeft ook 25 hokjes, dus c = 5.
• Bij a = 1 en b = 2 is c² = 1 + 4 = 5. Dan is c = √5 ≈ 2,24. Dat is geen heel getal, maar de oppervlaktes kloppen nog steeds.

Het bewijs met vier driehoeken

Een paar voorbeelden bewijzen nog niets. Dit bewijs werkt voor elke rechthoekige driehoek.

Neem een groot vierkant met zijde a + b. Leg er vier dezelfde driehoeken in, met rechthoekszijden a en b. Dat kan op twee manieren. Tik op de knoppen om te wisselen.

Waarom het altijd klopt

Driehoeken in de hoekenDriehoeken in paren

Over blijft één scheef vierkant: c².

• Liggen de driehoeken in de hoeken, dan blijft in het midden een scheef vierkant over. De zijden daarvan zijn schuine zijden, dus de oppervlakte is c².
• Liggen ze twee aan twee tegen elkaar, dan blijven er twee vierkanten over. Eén van a bij a en één van b bij b. Samen is dat a² + b².

Het grote vierkant is beide keren hetzelfde. De vier driehoeken ook. Dus wat overblijft, is ook even groot: c² = a² + b².

Het scheve stuk is echt een vierkant. Bij elk hoekpunt ervan liggen de twee scherpe hoeken van de driehoek. Samen zijn die 90°, want de drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Een gestrekte hoek is ook 180°. Voor de hoek van het middenstuk blijft dus 180° − 90° = 90° over.

Een zijde uitrekenen

De schuine zijde

De rechthoekszijden zijn 6 en 8. Hoe lang is de schuine zijde? Schrijf elke stap op een nieuwe regel.

c² = a² + b²
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = √100 = 10

De schuine zijde is 10. Controle: 10 is langer dan 6 en langer dan 8, maar korter dan 6 + 8 = 14.

Vaak komt er geen heel getal uit. Bij rechthoekszijden 5 en 7:

c² = 5² + 7²
c² = 25 + 49
c² = 74
c = √74 ≈ 8,60

Een rechthoekszijde

De schuine zijde is 13 en één rechthoekszijde is 5. Begin weer met a² + b² = c² en zet de getallen op hun plek. De 13 is c, want die ligt tegenover de rechte hoek.

a² + b² = c²
5² + b² = 13²
25 + b² = 169
b² = 169 − 25
b² = 144
b = √144 = 12

Controle: 12 is korter dan 13. Had je per ongeluk opgeteld, dan kreeg je √194 ≈ 13,93. Dat is langer dan de schuine zijde, dus dat kan niet.

Kort samengevat:

• Zoek je de schuine zijde, dan tel je de kwadraten op.
• Zoek je een rechthoekszijde, dan trek je het kleine kwadraat af van het grote.

Toegepast: de ladder

Een ladder van 5 meter staat tegen een muur. De voet staat 1,4 meter van de muur. Hoe hoog komt de ladder? De ladder is de schuine zijde. De hoogte h is een rechthoekszijde.

h² + 1,4² = 5²
h² + 1,96 = 25
h² = 25 − 1,96
h² = 23,04
h = √23,04 = 4,8

De ladder komt 4,8 meter hoog.

Een rechte hoek controleren

De stelling werkt ook andersom. Neem een driehoek met zijden a, b en c, waarbij c de langste is. Geldt a² + b² = c², dan is de hoek tegenover c precies 90°. Geldt dat niet, dan heeft de driehoek geen rechte hoek.

Een driehoek met zijden 5, 12 en 13. De langste zijde is 13.

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
169 = 169, dus de hoek tegenover 13 is recht.

Een driehoek met zijden 6, 7 en 9. De langste zijde is 9.

6² + 7² = 36 + 49 = 85
9² = 81
85 ≠ 81, dus de driehoek heeft geen rechte hoek.

Het scheelt maar 4. De hoek tegenover 9 is ongeveer 87,3°. Op het oog lijkt hij recht, maar dat is hij niet. Kies hieronder een driehoek en vergelijk.

Recht of niet

Kies een driehoek

3, 4, 55, 12, 138, 15, 176, 7, 92, 3, 4

• Langste zijde
• De andere twee zijden

a² + b²

6² + 7² = 36 + 49 = 85

c²

9² = 81

Hoek tegenover de langste zijde

≈ 87,3°

Conclusie

a² + b² is groter dan c², dus de hoek is scherp: kleiner dan 90°.

Toon de getallen

Zijden	a² + b²	c²	Hoek
3, 4, 5	25	25	90°
5, 12, 13	169	169	90°
8, 15, 17	289	289	90°
6, 7, 9	85	81	≈ 87,3°
2, 3, 4	13	16	≈ 104,5°

Het verschil vertelt je ook iets:

• Is a² + b² groter dan c², dan is de grootste hoek scherp: kleiner dan 90°.
• Is a² + b² kleiner dan c², dan is die hoek stomp: groter dan 90°. Bij 2, 3 en 4 is 4 + 9 = 13 kleiner dan 16. De hoek is ongeveer 104,5°.

Timmerlieden gebruiken dit om een rechte hoek uit te zetten. Ze meten 30 cm langs de ene kant en 40 cm langs de andere kant. Is de afstand tussen de twee merktekens precies 50 cm, dan is de hoek recht. Want 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50².

De afstand tussen twee punten

In een assenstelsel kun je de afstand tussen twee punten niet altijd langs de roosterlijnen tellen. Een schuine lijn loopt dwars door de hokjes. Je kunt wel een trapje maken: eerst opzij, dan omhoog. Die twee stappen en de schuine lijn vormen een rechthoekige driehoek.

Neem A(−3; −2) en B(1; 1).

opzij: 1 − (−3) = 4
omhoog: 1 − (−2) = 3
AB² = 4² + 3²
AB² = 16 + 9
AB² = 25
AB = √25 = 5

Sleep A en B hieronder. Je kunt ook op het rooster tikken. Dan springt het dichtstbijzijnde punt daarheen.

Sleep de punten

• Stap opzij en stap omhoog
• Afstand AB

A, B

(−3; −2), (1; 1)

Opzij

1 − (−3) = 4

Omhoog of omlaag

1 − (−2) = 3

AB

√(4² + 3²) = √25 = 5

Toon de getallen

Punt	x	y
A	−3	−2
B	1	1

Als formule, met A(x_A; y_A) en B(x_B; y_B):

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)

De volgorde maakt niet uit. Een negatieve stap wordt in het kwadraat toch positief.

Nog een voorbeeld: A(−2; 1) en B(4; 9).

x_B − x_A = 4 − (−2) = 6
y_B − y_A = 9 − 1 = 8
AB² = 6² + 8²
AB² = 36 + 64
AB² = 100
AB = √100 = 10

In de ruimte: de diagonaal van een doos

Een doos is 4 lang, 3 breed en 12 hoog. De ruimtediagonaal loopt van een hoek onderaan dwars door de doos naar de overkant bovenaan. Die reken je uit in twee stappen, met twee keer Pythagoras.

Stap 1: de bodemdiagonaal. De bodem is een rechthoek van 4 bij 3. De diagonaal d daarvan is de schuine zijde van een driehoek op de bodem.

d² = 4² + 3²
d² = 16 + 9
d² = 25
d = √25 = 5

Stap 2: de ruimtediagonaal. De bodemdiagonaal en een staande ribbe maken samen een rechte hoek. De ruimtediagonaal D is de schuine zijde van die staande driehoek.

D² = d² + 12²
D² = 25 + 144
D² = 169
D = √169 = 13

Verander de lengte, de breedte en de hoogte met de schuifjes.

De diagonaal van een doos

Lengte = 4Breedte = 3Hoogte = 12

• Bodemdiagonaal
• Ruimtediagonaal

Bodemdiagonaal

√(4² + 3²) = √25 = 5

Ruimtediagonaal

√(25 + 12²) = √169 = 13

Toon de getallen

Maat	Waarde
Lengte	4
Breedte	3
Hoogte	12
Bodemdiagonaal	√25 = 5
Ruimtediagonaal	√169 = 13

In stap 2 gebruik je d² = 25. De wortel uit stap 1 heb je dus niet nodig. Daarom kan het ook in één keer:

D = √(lengte² + breedte² + hoogte²)
D = √(4² + 3² + 12²)
D = √(16 + 9 + 144)
D = √169 = 13

Past een stok van 60 cm in een doos van 40 bij 30 bij 30 cm?

d² = 40² + 30²
d² = 1600 + 900
d² = 2500
D² = 2500 + 30²
D² = 2500 + 900
D² = 3400
D = √3400 ≈ 58,3

De langste lijn in de doos is ongeveer 58,3 cm. De stok van 60 cm past er dus niet in.

Probeer het zelf