Eerstegraadsfuncties: de rechte lijn y = ax + b

Stel: een taxi vraagt 20 SRD om in te stappen. Daarna betaal je 5 SRD per kilometer. Een rit van 7 km kost dan 20 + 5 × 7 = 55 SRD. Elke kilometer erbij kost precies 5 SRD meer. Zet je de prijs uit tegen de afstand, dan krijg je een rechte lijn.

Een formule die een rechte lijn geeft, heet een eerstegraadsfunctie. In dit artikel zie je wat de getallen in zo'n formule doen. Daarna stel je zelf zo'n formule op.

Twee getallen: a en b

Elke eerstegraadsfunctie kun je zo schrijven:

y = ax + b

• b is het snijpunt met de y-as. Vul x = 0 in: dan staat er y = a × 0 + b = b. De lijn gaat dus door (0; b).
• a is de richtingscoëfficiënt. Die zegt hoe steil de lijn is. Ga je 1 stap naar rechts, dan ga je a stappen omhoog.

Schuif hieronder met a en b. De grafiek begint bij y = 2x − 1. Het gestreepte trapje begint in (0; b): 1 stap opzij en dan a stappen omhoog.

Schuif met a en b

a = 2b = −1

y = 2x − 1

• Grafiek
• 1 opzij, a omhoog
• Snijpunt met de y-as

Richtingscoëfficiënt

a = 2

Snijpunt met de y-as

(0; −1)

De lijn

stijgt

Toon de getallen

x	y
−3	−7
−2	−5
−1	−3
0	−1
1	1
2	3
3	5

Dit zie je:

• Is a positief, dan stijgt de lijn van links naar rechts.
• Is a negatief, dan daalt de lijn. Bij 1 stap naar rechts ga je dan omlaag.
• Is a = 0, dan loopt de lijn horizontaal. De formule is dan y = b.
• Hoe verder a van 0 af ligt, hoe steiler de lijn.
• b verandert de helling niet. b schuift de hele lijn omhoog of omlaag.

Van tabel naar lijn

Bij y = 2x − 1 maak je een tabel. Kies een paar waarden voor x en reken y uit:

x = 0: y = 2 × 0 − 1 = −1
x = 1: y = 2 × 1 − 1 = 1
x = 2: y = 2 × 2 − 1 = 3

Teken de punten (0; −1), (1; 1) en (2; 3) en trek er een lijn door. Twee punten zijn genoeg voor een rechte lijn. Het derde punt is een controle. Ligt het niet op de lijn, dan zit er ergens een rekenfout.

Kijk nu naar de y-waarden: −1, 1 en 3. Elke keer komt er 2 bij. Dat is geen toeval. Gaat x 1 omhoog, dan gaat y precies a omhoog. Bij een rechte lijn is die stap altijd even groot.

Andersom werkt het ook. Bij een tabel vind je zo de formule:

• De stap in y, als x steeds 1 groter wordt, is a.
• De y bij x = 0 is b.

Kies hieronder een tabel en kijk naar de rij met stappen.

Gelijke stappen geven een rechte lijn

Tabel ATabel BTabel C

• Lijn
• Punten uit de tabel

x	0	1	2	3	4
y	−1	1	3	5	7
stap		+2	+2	+2	+2

Steeds dezelfde stap, dus een rechte lijn: y = 2x − 1

Tabel A heeft steeds stap +2, en bij x = 0 hoort y = −1. Dat geeft y = 2x − 1. Tabel B heeft steeds stap −0,5 en begint bij 3. Dat geeft y = −0,5x + 3. Tabel C heeft de stappen −1, +1, +3 en +5. Die stappen zijn niet gelijk. De punten liggen op een kromme, niet op een lijn.

De lijn door twee punten

Op een toets krijg je vaak deze vraag: geef de formule van de lijn door A(1; 4) en B(3; 10). Dat gaat in twee stappen.

Stap 1: bereken a. Kijk hoeveel je opzij gaat en hoeveel omhoog. Opzij heet Δx en omhoog heet Δy. Je spreekt dat uit als delta x en delta y.

Δx = 3 − 1 = 2
Δy = 10 − 4 = 6
a = Δy ÷ Δx = 6 ÷ 2 = 3

Stap 2: bereken b. Vul a en één punt in y = ax + b in. Neem A(1; 4):

4 = 3 × 1 + b
4 = 3 + b
b = 1

De formule is y = 3x + 1. Controleer met het andere punt: 3 × 3 + 1 = 10. Dat klopt.

Sleep A en B hieronder naar andere plekken. De formule rekent mee.

Sleep de twee punten

y = 3x + 1

• Lijn door A en B
• Δx opzij, Δy omhoog

A

(1; 4)

B

(3; 10)

Δx

3 − 1 = 2

Δy

10 − 4 = 6

Richtingscoëfficiënt

a = 6 ÷ 2 = 3

Snijpunt met de y-as

b = 4 − 3 × 1 = 1

Bij een dalende lijn gaat het net zo. Neem A(−1; 5) en B(2; −1):

Δx = 2 − (−1) = 3
Δy = −1 − 5 = −6
a = −6 ÷ 3 = −2

Vul A in: 5 = −2 × (−1) + b. Dan 5 = 2 + b, dus b = 3. De formule is y = −2x + 3. De lijn daalt, dus a is negatief.

Een formule uit een verhaal

Terug naar de taxi. Je betaalt 20 SRD om in te stappen en 5 SRD per km. Noem de afstand x, in km. Noem de prijs y, in SRD:

y = 5x + 20

Het vaste bedrag aan het begin is b = 20. Het bedrag per kilometer is a = 5. Zo gaat het bij elk verhaal met een vast begin en een vaste stap. Het beginbedrag is b. Wat er per stap bijkomt, is a.

De prijs van een taxirit

Afstand: 7 km

• Prijs van de rit
• Instappen: 20 SRD

Prijs

20 + 5 × 7 = 55 SRD

Toon de getallen

Afstand	Prijs
0 km	20 SRD
2 km	30 SRD
4 km	40 SRD
6 km	50 SRD
8 km	60 SRD
10 km	70 SRD
12 km	80 SRD

Andersom kan ook. Stel dat je 60 SRD hebt. Dan los je deze vergelijking op:

5x + 20 = 60
5x = 40
x = 8

Je komt 8 km ver. Zet de schuif op 8 km om het te controleren.

Waar twee lijnen elkaar snijden

Taxi B vraagt 8 SRD om in te stappen en 7 SRD per km. Daarbij hoort y = 7x + 8. Taxi B is goedkoper om in te stappen, maar duurder per kilometer. Bij één afstand kosten ze evenveel. Daar snijden de twee lijnen elkaar.

Zet de twee formules aan elkaar gelijk:

5x + 20 = 7x + 8
20 − 8 = 7x − 5x
12 = 2x
x = 6

Bij 6 km kosten ze allebei 5 × 6 + 20 = 50 SRD. Het snijpunt is (6; 50). Voor kortere ritten is taxi B goedkoper. Voor langere ritten is taxi A goedkoper.

Verander hieronder de prijzen van taxi B.

Taxi A tegen taxi B

Taxi B, instappen: 8 SRDTaxi B, per km: 7 SRD

• Taxi A: y = 5x + 20
• Taxi B: y = 7x + 8
• Snijpunt

Vergelijking

5x + 20 = 7x + 8

Snijpunt

(6; 50)

Tot 6 km is Taxi B goedkoper. Daarna is Taxi A goedkoper.

Toon de getallen

Afstand (km)	Taxi A	Taxi B
0	20 SRD	8 SRD
2	30 SRD	22 SRD
4	40 SRD	36 SRD
6	50 SRD	50 SRD
8	60 SRD	64 SRD
10	70 SRD	78 SRD
12	80 SRD	92 SRD

Zet taxi B op 5 SRD per km. Dan hebben beide lijnen dezelfde a. Ze lopen evenwijdig en snijden elkaar nooit. Dat zie je ook aan de vergelijking. Neem een instapprijs van 8 SRD:

5x + 20 = 5x + 8
20 = 8

Dat kan niet. Er is geen oplossing, dus ook geen snijpunt.

Voor lijnen die loodrecht op elkaar staan, geldt ook een vaste regel. Vermenigvuldig de twee richtingscoëfficiënten, dan krijg je −1. Neem y = 2x + 1 en y = −0,5x + 4. Dan is 2 × (−0,5) = −1. Deze twee lijnen staan loodrecht op elkaar.

Probeer het zelf