Funciones lineales: la recta y = ax + b

Supón que un taxi cobra 20 SRD por subir. Después pagas 5 SRD por kilómetro. Un viaje de 7 km cuesta entonces 20 + 5 × 7 = 55 SRD. Cada kilómetro más cuesta exactamente 5 SRD más. Si dibujas el precio frente a la distancia, sale una recta.

Una fórmula que da una recta se llama función lineal. En este artículo ves qué hacen los números de esa fórmula. Después armas una fórmula así por tu cuenta.

Dos números: a y b

Toda función lineal se puede escribir así:

y = ax + b

• b es el corte con el eje y. Pon x = 0: queda y = a × 0 + b = b. La recta pasa por (0, b).
• a es la pendiente. Dice qué tan inclinada está la recta. Si das 1 paso a la derecha, subes a pasos.

Mueve a y b aquí abajo. La gráfica empieza en y = 2x − 1. El escalón con rayas empieza en (0, b): 1 paso a la derecha y luego a pasos hacia arriba.

Mueve a y b

a = 2b = −1

y = 2x − 1

• Gráfica
• 1 a la derecha, a arriba
• Corte con el eje y

Pendiente

a = 2

Corte con el eje y

(0, −1)

La recta

sube

Ver los números

x	y
−3	−7
−2	−5
−1	−3
0	−1
1	1
2	3
3	5

Esto es lo que ves:

• Si a es positiva, la recta sube de izquierda a derecha.
• Si a es negativa, la recta baja. Con 1 paso a la derecha bajas.
• Si a = 0, la recta es horizontal. La fórmula es entonces y = b.
• Cuanto más lejos de 0 está a, más inclinada es la recta.
• b no cambia la inclinación. b sube o baja toda la recta.

De la tabla a la recta

Para y = 2x − 1 haces una tabla. Elige algunos valores de x y calcula y:

x = 0: y = 2 × 0 − 1 = −1
x = 1: y = 2 × 1 − 1 = 1
x = 2: y = 2 × 2 − 1 = 3

Dibuja los puntos (0, −1), (1, 1) y (2, 3) y traza una recta por ellos. Dos puntos bastan para una recta. El tercer punto sirve de control. Si no está en la recta, hay un error de cálculo.

Ahora mira los valores de y: −1, 1 y 3. Cada vez se suma 2. No es casualidad. Si x sube 1, y sube exactamente a. En una recta ese paso siempre es igual.

También funciona al revés. Así encuentras la fórmula de una tabla:

• El paso en y, cuando x sube de 1 en 1, es a.
• La y en x = 0 es b.

Elige una tabla y mira la fila de pasos.

Pasos iguales dan una recta

Tabla ATabla BTabla C

• Recta
• Puntos de la tabla

x	0	1	2	3	4
y	−1	1	3	5	7
paso		+2	+2	+2	+2

Siempre el mismo paso, así que es una recta: y = 2x − 1

La tabla A tiene siempre paso +2, y con x = 0 va y = −1. Eso da y = 2x − 1. La tabla B tiene siempre paso −0.5 y empieza en 3. Eso da y = −0.5x + 3. La tabla C tiene los pasos −1, +1, +3 y +5. Esos pasos no son iguales. Los puntos están en una curva, no en una recta.

La recta que pasa por dos puntos

En una prueba suele salir esta pregunta: da la fórmula de la recta que pasa por A(1, 4) y B(3, 10). Se hace en dos pasos.

Paso 1: calcula a. Mira cuánto avanzas a la derecha y cuánto subes. Lo que avanzas se llama Δx y lo que subes se llama Δy. Se lee delta x y delta y.

Δx = 3 − 1 = 2
Δy = 10 − 4 = 6
a = Δy ÷ Δx = 6 ÷ 2 = 3

Paso 2: calcula b. Pon a y un punto en y = ax + b. Toma A(1, 4):

4 = 3 × 1 + b
4 = 3 + b
b = 1

La fórmula es y = 3x + 1. Comprueba con el otro punto: 3 × 3 + 1 = 10. Está bien.

Arrastra A y B a otros lugares. La fórmula se calcula sola.

Arrastra los dos puntos

y = 3x + 1

• Recta por A y B
• Δx a la derecha, Δy arriba

A

(1, 4)

B

(3, 10)

Δx

3 − 1 = 2

Δy

10 − 4 = 6

Pendiente

a = 6 ÷ 2 = 3

Corte con el eje y

b = 4 − 3 × 1 = 1

Con una recta que baja se hace igual. Toma A(−1, 5) y B(2, −1):

Δx = 2 − (−1) = 3
Δy = −1 − 5 = −6
a = −6 ÷ 3 = −2

Pon A: 5 = −2 × (−1) + b. Entonces 5 = 2 + b, así que b = 3. La fórmula es y = −2x + 3. La recta baja, así que a es negativa.

Una fórmula a partir de una historia

Volvamos al taxi. Pagas 20 SRD por subir y 5 SRD por km. Llama x a la distancia, en km. Llama y al precio, en SRD:

y = 5x + 20

La cantidad fija del principio es b = 20. La cantidad por kilómetro es a = 5. Así pasa en toda historia con un inicio fijo y un paso fijo. La cantidad inicial es b. Lo que se suma en cada paso es a.

El precio de un viaje en taxi

Distancia: 7 km

• Precio del viaje
• Subir: 20 SRD

Precio

20 + 5 × 7 = 55 SRD

Ver los números

Distancia	Precio
0 km	20 SRD
2 km	30 SRD
4 km	40 SRD
6 km	50 SRD
8 km	60 SRD
10 km	70 SRD
12 km	80 SRD

También funciona al revés. Supón que tienes 60 SRD. Entonces resuelves esta ecuación:

5x + 20 = 60
5x = 40
x = 8

Llegas a 8 km. Pon el control en 8 km para comprobarlo.

Donde se cortan dos rectas

El taxi B cobra 8 SRD por subir y 7 SRD por km. Eso da y = 7x + 8. Subir al taxi B es más barato, pero cada kilómetro es más caro. A una distancia cuestan lo mismo. Ahí se cortan las dos rectas.

Iguala las dos fórmulas:

5x + 20 = 7x + 8
20 − 8 = 7x − 5x
12 = 2x
x = 6

A 6 km los dos cuestan 5 × 6 + 20 = 50 SRD. El punto de corte es (6, 50). Para viajes más cortos el taxi B es más barato. Para viajes más largos el taxi A es más barato.

Cambia aquí abajo los precios del taxi B.

Taxi A contra taxi B

Taxi B, subir: 8 SRDTaxi B, por km: 7 SRD

• Taxi A: y = 5x + 20
• Taxi B: y = 7x + 8
• Punto de corte

Ecuación

5x + 20 = 7x + 8

Punto de corte

(6, 50)

Hasta 6 km, Taxi B es más barato. Después, Taxi A es más barato.

Ver los números

Distancia (km)	Taxi A	Taxi B
0	20 SRD	8 SRD
2	30 SRD	22 SRD
4	40 SRD	36 SRD
6	50 SRD	50 SRD
8	60 SRD	64 SRD
10	70 SRD	78 SRD
12	80 SRD	92 SRD

Pon el taxi B en 5 SRD por km. Entonces las dos rectas tienen la misma a. Son paralelas y nunca se cortan. También se ve en la ecuación. Toma un precio de subida de 8 SRD:

5x + 20 = 5x + 8
20 = 8

Eso no puede ser. No hay solución, así que tampoco hay punto de corte.

Para rectas perpendiculares también hay una regla fija. Multiplica las dos pendientes y te da −1. Toma y = 2x + 1 e y = −0.5x + 4. Entonces 2 × (−0.5) = −1. Estas dos rectas son perpendiculares.

Inténtalo tú