Funções do 1º grau: a reta y = ax + b

Imagine que um táxi cobra 20 SRD para você entrar. Depois você paga 5 SRD por quilômetro. Uma corrida de 7 km custa então 20 + 5 × 7 = 55 SRD. Cada quilômetro a mais custa exatamente 5 SRD a mais. Se você desenha o preço contra a distância, sai uma reta.

Uma fórmula que dá uma reta se chama função do 1º grau. Neste artigo você vê o que fazem os números dessa fórmula. Depois você monta uma fórmula assim por conta própria.

Dois números: a e b

Toda função do 1º grau pode ser escrita assim:

y = ax + b

• b é o coeficiente linear. A reta corta o eixo y na altura b. Coloque x = 0: fica y = a × 0 + b = b. A reta passa por (0; b).
• a é o coeficiente angular. Ele diz o quanto a reta é inclinada. Dando 1 passo para a direita, você sobe a passos.

Mexa em a e b aqui embaixo. O gráfico começa em y = 2x − 1. O degrau tracejado começa em (0; b): 1 passo para o lado e depois a passos para cima.

Mexa em a e b

a = 2b = −1

y = 2x − 1

• Gráfico
• 1 para o lado, a para cima
• Corte no eixo y

Coeficiente angular

a = 2

Corte no eixo y

(0; −1)

A reta

sobe

Ver os números

x	y
−3	−7
−2	−5
−1	−3
0	−1
1	1
2	3
3	5

Isto é o que você vê:

• Se a é positivo, a reta sobe da esquerda para a direita.
• Se a é negativo, a reta desce. Com 1 passo para a direita você desce.
• Se a = 0, a reta fica horizontal. A fórmula é então y = b.
• Quanto mais longe de 0 está a, mais inclinada é a reta.
• b não muda a inclinação. b sobe ou desce a reta inteira.

Da tabela para a reta

Para y = 2x − 1 você faz uma tabela. Escolha alguns valores de x e calcule y:

x = 0: y = 2 × 0 − 1 = −1
x = 1: y = 2 × 1 − 1 = 1
x = 2: y = 2 × 2 − 1 = 3

Marque os pontos (0; −1), (1; 1) e (2; 3) e trace uma reta por eles. Dois pontos bastam para uma reta. O terceiro ponto serve de conferência. Se ele não estiver na reta, há um erro de conta.

Agora olhe os valores de y: −1, 1 e 3. A cada vez soma-se 2. Não é por acaso. Quando x sobe 1, y sobe exatamente a. Numa reta esse passo é sempre do mesmo tamanho.

Também funciona ao contrário. Assim você acha a fórmula de uma tabela:

• O passo em y, quando x sobe de 1 em 1, é a.
• O y em x = 0 é b.

Escolha uma tabela e olhe a linha dos passos.

Passos iguais dão uma reta

Tabela ATabela BTabela C

• Reta
• Pontos da tabela

x	0	1	2	3	4
y	−1	1	3	5	7
passo		+2	+2	+2	+2

Sempre o mesmo passo, então é uma reta: y = 2x − 1

A tabela A tem sempre passo +2, e com x = 0 vai y = −1. Isso dá y = 2x − 1. A tabela B tem sempre passo −0,5 e começa em 3. Isso dá y = −0,5x + 3. A tabela C tem os passos −1, +1, +3 e +5. Esses passos não são iguais. Os pontos estão numa curva, não numa reta.

A reta que passa por dois pontos

Numa prova costuma cair esta pergunta: dê a fórmula da reta que passa por A(1; 4) e B(3; 10). Isso se faz em duas etapas.

Etapa 1: calcule a. Veja quanto você anda para o lado e quanto sobe. O que você anda para o lado se chama Δx, e o que sobe se chama Δy. Lê-se delta x e delta y.

Δx = 3 − 1 = 2
Δy = 10 − 4 = 6
a = Δy ÷ Δx = 6 ÷ 2 = 3

Etapa 2: calcule b. Coloque a e um ponto em y = ax + b. Pegue A(1; 4):

4 = 3 × 1 + b
4 = 3 + b
b = 1

A fórmula é y = 3x + 1. Confira com o outro ponto: 3 × 3 + 1 = 10. Está certo.

Arraste A e B para outros lugares. A fórmula acompanha.

Arraste os dois pontos

y = 3x + 1

• Reta por A e B
• Δx para o lado, Δy para cima

A

(1; 4)

B

(3; 10)

Δx

3 − 1 = 2

Δy

10 − 4 = 6

Coeficiente angular

a = 6 ÷ 2 = 3

Corte no eixo y

b = 4 − 3 × 1 = 1

Com uma reta que desce é igual. Pegue A(−1; 5) e B(2; −1):

Δx = 2 − (−1) = 3
Δy = −1 − 5 = −6
a = −6 ÷ 3 = −2

Coloque A: 5 = −2 × (−1) + b. Então 5 = 2 + b, logo b = 3. A fórmula é y = −2x + 3. A reta desce, então a é negativo.

Uma fórmula a partir de uma história

De volta ao táxi. Você paga 20 SRD para entrar e 5 SRD por km. Chame a distância de x, em km. Chame o preço de y, em SRD:

y = 5x + 20

O valor fixo do começo é b = 20. O valor por quilômetro é a = 5. É assim em toda história com um começo fixo e um passo fixo. O valor inicial é b. O que se soma a cada passo é a.

O preço de uma corrida de táxi

Distância: 7 km

• Preço da corrida
• Entrar: 20 SRD

Preço

20 + 5 × 7 = 55 SRD

Ver os números

Distância	Preço
0 km	20 SRD
2 km	30 SRD
4 km	40 SRD
6 km	50 SRD
8 km	60 SRD
10 km	70 SRD
12 km	80 SRD

Também funciona ao contrário. Imagine que você tem 60 SRD. Então você resolve esta equação:

5x + 20 = 60
5x = 40
x = 8

Você chega a 8 km. Coloque o controle em 8 km para conferir.

Onde duas retas se cortam

O táxi B cobra 8 SRD para entrar e 7 SRD por km. Isso dá y = 7x + 8. Entrar no táxi B é mais barato, mas cada quilômetro é mais caro. Numa certa distância os dois custam o mesmo. Ali as duas retas se cortam.

Iguale as duas fórmulas:

5x + 20 = 7x + 8
20 − 8 = 7x − 5x
12 = 2x
x = 6

Com 6 km os dois custam 5 × 6 + 20 = 50 SRD. O ponto de encontro é (6; 50). Para corridas mais curtas o táxi B é mais barato. Para corridas mais longas o táxi A é mais barato.

Mude aqui embaixo os preços do táxi B.

Táxi A contra táxi B

Táxi B, entrar: 8 SRDTáxi B, por km: 7 SRD

• Táxi A: y = 5x + 20
• Táxi B: y = 7x + 8
• Ponto de encontro

Equação

5x + 20 = 7x + 8

Ponto de encontro

(6; 50)

Até 6 km, o Táxi B é mais barato. Depois, o Táxi A é mais barato.

Ver os números

Distância (km)	Táxi A	Táxi B
0	20 SRD	8 SRD
2	30 SRD	22 SRD
4	40 SRD	36 SRD
6	50 SRD	50 SRD
8	60 SRD	64 SRD
10	70 SRD	78 SRD
12	80 SRD	92 SRD

Coloque o táxi B em 5 SRD por km. Então as duas retas têm o mesmo a. Elas são paralelas e nunca se cortam. Isso também aparece na equação. Pegue uma entrada de 8 SRD:

5x + 20 = 5x + 8
20 = 8

Isso não pode ser. Não há solução, então também não há ponto de encontro.

Para retas perpendiculares também existe uma regra fixa. Multiplique os dois coeficientes angulares e o resultado é −1. Pegue y = 2x + 1 e y = −0,5x + 4. Então 2 × (−0,5) = −1. Essas duas retas são perpendiculares.

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