Potências e raízes: as regras

Dobre uma folha de papel ao meio. Agora ela tem 2 camadas. Dobre de novo e ela tem 4 camadas. Depois de três dobras são 8. Cada dobra duplica o número de camadas.

Depois de seis dobras você tem 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 camadas. Uma fila do mesmo fator fica mais curta como potência: 2⁶ = 64. Neste artigo você aprende a calcular com potências. No final você simplifica raízes como √72.

Sempre o mesmo fator

Uma potência é uma multiplicação com o mesmo fator toda vez.

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

O número 5 é a base. O número pequeno 3, no alto à direita, é o expoente. O expoente diz quantos fatores existem.

Duas potências têm nome próprio. a² se lê "a ao quadrado". É a área de um quadrado de lado a. a³ se lê "a ao cubo". É o volume de um cubo de aresta a.

Um quadrado e um cubo

a = 3

Quadrado

Cubo

Quadrado

3² = 3 · 3 = 9

Cubo

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Mostrar os números

a	a²	a³
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216

Com a = 3 você conta 9 quadradinhos e 27 cubinhos. Com a = 4 são 16 quadradinhos e 64 cubinhos. O cubo cresce muito mais rápido que o quadrado.

As quatro regras

Existem quatro regras para potências. Você não precisa decorar. Escreva cada potência como fatores soltos e conte. A figura abaixo faz o mesmo.

Conte os fatores

MultiplicarDividirPotência de potênciaPotência de produto

m = 3n = 2

a³ · a² = a³⁺² = a⁵

• da primeira potência
• da segunda potência

aaa·aa

Regra

a^m · aⁿ = a^m+n

Expoente

3 + 2 = 5

Multiplicar potências

Escreva a³ · a² por extenso. Você tem (a · a · a) · (a · a). São 5 fatores a.

a^m · aⁿ = a^m+n

Na multiplicação, você soma os expoentes. Isso só vale quando as bases são iguais.

Dividir potências

a⁵ : a² é uma fração. Acima do traço há 5 fatores a e abaixo há 2. Dois pares se cancelam. Sobram 3 fatores.

a^m : aⁿ = a^m−n

Na divisão, você subtrai os expoentes.

Potência de potência

(a²)³ quer dizer a² · a² · a². São 3 grupos de 2 fatores. No total são 6 fatores.

(a^m)ⁿ = a^m·n

Numa potência de potência, você multiplica os expoentes.

Potência de produto

(ab)³ quer dizer ab · ab · ab. Junte os a e junte os b. Fica a · a · a · b · b · b = a³b³.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

O expoente vale para cada fator dentro dos parênteses. Também para um número:

(3a²)² = 3² · (a²)² = 9a⁴

Juntar as regras

Muitas vezes você precisa de mais de uma regra. Então trabalhe passo a passo. Um a sozinho é a¹.

(a²)³ · a = a⁶ · a¹ = a⁷

(2x³)² · x : x⁴ = 4x⁶ · x : x⁴ = 4x⁷ : x⁴ = 4x³

Você pode conferir uma regra com números. 2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128. E 2⁷ também é 128.

O expoente 0 e os expoentes negativos

Veja esta lista. Cada passo para a esquerda divide por 2.

2³ = 8
2² = 4
2¹ = 2

Dê mais um passo para a esquerda. Então você tem 2⁰ = 2 : 2 = 1. Mais um passo dá 2⁻¹ = 1 : 2 = 12. A lista continua abaixo de 0.

Sempre dividido por 2

n = 3

← dividido por 2vezes 2 →

2³

2 · 2 · 2 = 8

Mostrar os números

n	2 elevado a n	Em decimal
−3	1/8	0,125
−2	1/4	0,25
−1	1/2	0,5
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	8	8
4	16	16
5	32	32
6	64	64

A regra da divisão diz o mesmo. a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰. Um número dividido por ele mesmo é 1. Então:

a⁰ = 1

Isso vale para toda base, menos 0.

Agora tome a² : a⁵. Acima do traço há 2 fatores e abaixo há 5. Depois de cancelar, sobram 3 abaixo do traço. O que sobra é 1a³. A regra da divisão dá a²⁻⁵ = a⁻³. As duas coisas são iguais.

a⁻ⁿ = 1aⁿ

Dois exemplos:

5⁻² = 15² = 125 = 0,04
10⁻³ = 110³ = 11000 = 0,001

Sinais de menos e parênteses

Com um sinal de menos na frente de uma potência, os parênteses mudam o resultado.

(−3)² = (−3) · (−3) = 9
−3² = −(3 · 3) = −9

Em (−3)² o menos faz parte da base. Em −3² não faz. Primeiro você calcula 3² = 9. Depois coloca o menos na frente.

Menos vezes menos dá mais. Por isso um expoente par sempre dá um número positivo. Com um expoente ímpar sobra um menos: (−2)³ = −8.

(a + b)² não é a² + b²

A regra (ab)ⁿ = aⁿbⁿ vale para um produto. Para uma soma ela não vale. Tome a = 3 e b = 2.

(3 + 2)² = 5² = 25
3² + 2² = 9 + 4 = 13

Faltam 12. A figura mostra onde eles estão.

O quadrado de a + b

a = 3b = 2

• a²
• b²
• ab, duas vezes

(a + b)²

(3 + 2)² = 5² = 25

a² + b²

3² + 2² = 9 + 4 = 13

O que falta em a² + b²

2 · 3 · 2 = 12

Mostrar os números

Parte	Área
a²	9
ab	6
ab	6
b²	4
Total: (a + b)²	25

O quadrado de lado a + b tem quatro partes. Há um quadrado a² e um quadrado b². Ao lado ficam dois retângulos de a por b. Esses dois retângulos são o que a² + b² esquece. Com a = 3 e b = 2 isso dá 2 · 3 · 2 = 12.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Simplificar raízes

A raiz quadrada desfaz o quadrado. √49 é o número positivo cujo quadrado é 49. É 7, porque 7² = 49. Então um quadrado de 49 quadradinhos tem lado 7.

A raiz de um produto pode ser separada.

√(ab) = √a · √b

Confira com números. √(4 · 9) = √36 = 6. E √4 · √9 = 2 · 3 = 6.

Com essa regra uma raiz fica mais simples. Procure o maior quadrado que cabe no número. Em 72 cabe 36, porque 72 = 36 · 2.

√72 = √36 · √2 = 6√2

6√2 é o valor exato. Em decimal é mais ou menos 8,49.

Quadradinhos em quadrados

Número: 72

Maior quadrado

36 = 6²

Separar

72 = 36 · 2

Raiz

√72 = √36 · √2 = 6√2

Aproximado

≈ 8,49

Mostrar os números

Número	Quadrado · resto	Raiz	Aproximado
8	4 · 2	2√2	2,83
12	4 · 3	2√3	3,46
18	9 · 2	3√2	4,24
20	4 · 5	2√5	4,47
24	4 · 6	2√6	4,90
27	9 · 3	3√3	5,20
32	16 · 2	4√2	5,66
36	36 · 1	6	6
45	9 · 5	3√5	6,71
48	16 · 3	4√3	6,93
50	25 · 2	5√2	7,07
72	36 · 2	6√2	8,49
98	49 · 2	7√2	9,90

Arrume 72 quadradinhos em quadrados iguais, os maiores possíveis. Você fica com dois quadrados de 6 por 6. O lado 6 vai para fora da raiz. O número de quadrados, 2, fica dentro da raiz.

As regras numa lista

• a^m · aⁿ = a^m+n
• a^m : aⁿ = a^m−n
• (a^m)ⁿ = a^m·n
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• a⁰ = 1 e a⁻ⁿ = 1aⁿ
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• √(ab) = √a · √b