Potencias y raíces: las reglas

Dobla una hoja de papel por la mitad. Ahora tiene 2 capas. Dóblala otra vez y tiene 4 capas. Después de tres dobleces hay 8. Cada doblez duplica el número de capas.

Después de seis dobleces tienes 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 capas. Una fila del mismo factor se escribe más corta como potencia: 2⁶ = 64. En este artículo aprendes a calcular con potencias. Al final simplificas raíces como √72.

Siempre el mismo factor

Una potencia es una multiplicación con el mismo factor cada vez.

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

El número 5 es la base. El número pequeño 3, arriba a la derecha, es el exponente. El exponente dice cuántos factores hay.

Dos potencias tienen nombre propio. A a² le dices "a al cuadrado". Es el área de un cuadrado de lado a. A a³ le dices "a al cubo". Es el volumen de un cubo de arista a.

Un cuadrado y un cubo

a = 3

Cuadrado

Cubo

Cuadrado

3² = 3 · 3 = 9

Cubo

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Ver los números

a	a²	a³
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216

Con a = 3 cuentas 9 cuadritos y 27 cubitos. Con a = 4 son 16 cuadritos y 64 cubitos. El cubo crece mucho más rápido que el cuadrado.

Las cuatro reglas

Hay cuatro reglas para las potencias. No necesitas aprenderlas de memoria. Escribe cada potencia como factores sueltos y cuéntalos. La figura de abajo hace lo mismo.

Cuenta los factores

MultiplicarDividirPotencia de una potenciaPotencia de un producto

m = 3n = 2

a³ · a² = a³⁺² = a⁵

• de la primera potencia
• de la segunda potencia

aaa·aa

Regla

a^m · aⁿ = a^m+n

Exponente

3 + 2 = 5

Multiplicar potencias

Escribe a³ · a² completo. Te queda (a · a · a) · (a · a). Son 5 factores a.

a^m · aⁿ = a^m+n

Al multiplicar, sumas los exponentes. Solo vale si las bases son iguales.

Dividir potencias

a⁵ : a² es una fracción. Arriba de la raya hay 5 factores a y abajo hay 2. Dos pares se cancelan. Quedan 3 factores.

a^m : aⁿ = a^m−n

Al dividir, restas los exponentes.

Potencia de una potencia

(a²)³ significa a² · a² · a². Son 3 grupos de 2 factores. En total son 6 factores.

(a^m)ⁿ = a^m·n

En una potencia de una potencia, multiplicas los exponentes.

Potencia de un producto

(ab)³ significa ab · ab · ab. Junta las a y junta las b. Te queda a · a · a · b · b · b = a³b³.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

El exponente va con cada factor dentro del paréntesis. También con un número:

(3a²)² = 3² · (a²)² = 9a⁴

Combinar las reglas

Muchas veces necesitas más de una regla. Entonces trabaja paso a paso. Una a sola es a¹.

(a²)³ · a = a⁶ · a¹ = a⁷

(2x³)² · x : x⁴ = 4x⁶ · x : x⁴ = 4x⁷ : x⁴ = 4x³

Puedes comprobar una regla con números. 2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128. Y 2⁷ también es 128.

El exponente 0 y los exponentes negativos

Mira esta lista. Cada paso a la izquierda divide entre 2.

2³ = 8
2² = 4
2¹ = 2

Da un paso más a la izquierda. Entonces te queda 2⁰ = 2 : 2 = 1. Otro paso da 2⁻¹ = 1 : 2 = 12. La lista sigue debajo de 0.

Siempre entre 2

n = 3

← entre 2por 2 →

2³

2 · 2 · 2 = 8

Ver los números

n	2 a la n	Como decimal
−3	1/8	0.125
−2	1/4	0.25
−1	1/2	0.5
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	8	8
4	16	16
5	32	32
6	64	64

La regla de la división dice lo mismo. a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰. Un número dividido entre sí mismo es 1. Así que:

a⁰ = 1

Esto vale para cualquier base menos 0.

Ahora toma a² : a⁵. Arriba de la raya hay 2 factores y abajo hay 5. Después de cancelar, quedan 3 abajo de la raya. Lo que queda es 1a³. La regla de la división da a²⁻⁵ = a⁻³. Las dos cosas son iguales.

a⁻ⁿ = 1aⁿ

Dos ejemplos:

5⁻² = 15² = 125 = 0.04
10⁻³ = 110³ = 11000 = 0.001

Signos menos y paréntesis

Con un signo menos delante de una potencia, el paréntesis cambia el resultado.

(−3)² = (−3) · (−3) = 9
−3² = −(3 · 3) = −9

En (−3)² el menos es parte de la base. En −3² no lo es. Primero calculas 3² = 9. Después pones el menos delante.

Menos por menos da más. Por eso un exponente par siempre da un número positivo. Con un exponente impar queda un menos: (−2)³ = −8.

(a + b)² no es a² + b²

La regla (ab)ⁿ = aⁿbⁿ vale para un producto. Para una suma no vale. Toma a = 3 y b = 2.

(3 + 2)² = 5² = 25
3² + 2² = 9 + 4 = 13

Faltan 12. La figura muestra dónde están.

El cuadrado de a + b

a = 3b = 2

• a²
• b²
• ab, dos veces

(a + b)²

(3 + 2)² = 5² = 25

a² + b²

3² + 2² = 9 + 4 = 13

Lo que le falta a a² + b²

2 · 3 · 2 = 12

Ver los números

Parte	Área
a²	9
ab	6
ab	6
b²	4
Total: (a + b)²	25

El cuadrado de lado a + b tiene cuatro partes. Hay un cuadrado a² y un cuadrado b². Al lado hay dos rectángulos de a por b. Esos dos rectángulos son lo que a² + b² olvida. Con a = 3 y b = 2 son 2 · 3 · 2 = 12.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Simplificar raíces

La raíz cuadrada deshace el cuadrado. √49 es el número positivo cuyo cuadrado es 49. Es 7, porque 7² = 49. Así que un cuadrado de 49 cuadritos tiene lado 7.

La raíz de un producto se puede separar.

√(ab) = √a · √b

Compruébalo con números. √(4 · 9) = √36 = 6. Y √4 · √9 = 2 · 3 = 6.

Con esta regla una raíz se vuelve más simple. Busca el mayor cuadrado que cabe en el número. En 72 cabe 36, porque 72 = 36 · 2.

√72 = √36 · √2 = 6√2

6√2 es el valor exacto. Como decimal es más o menos 8.49.

Cuadritos en cuadrados

Número: 72

Mayor cuadrado

36 = 6²

Separar

72 = 36 · 2

Raíz

√72 = √36 · √2 = 6√2

Aproximado

≈ 8.49

Ver los números

Número	Cuadrado · resto	Raíz	Aproximado
8	4 · 2	2√2	2.83
12	4 · 3	2√3	3.46
18	9 · 2	3√2	4.24
20	4 · 5	2√5	4.47
24	4 · 6	2√6	4.90
27	9 · 3	3√3	5.20
32	16 · 2	4√2	5.66
36	36 · 1	6	6
45	9 · 5	3√5	6.71
48	16 · 3	4√3	6.93
50	25 · 2	5√2	7.07
72	36 · 2	6√2	8.49
98	49 · 2	7√2	9.90

Acomoda 72 cuadritos en cuadrados iguales, lo más grandes posible. Te quedan dos cuadrados de 6 por 6. El lado 6 sale delante de la raíz. El número de cuadrados, 2, se queda dentro de la raíz.

Las reglas en una lista

• a^m · aⁿ = a^m+n
• a^m : aⁿ = a^m−n
• (a^m)ⁿ = a^m·n
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1aⁿ
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• √(ab) = √a · √b