Machten en wortels: de rekenregels

Vouw een vel papier dubbel. Nu heb je 2 lagen. Vouw het nog een keer, dan heb je 4 lagen. Na drie keer vouwen zijn het er 8. Elke vouw verdubbelt het aantal lagen.

Na zes keer vouwen heb je 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 lagen. Zo'n rij van dezelfde factor schrijf je korter als een macht: 2⁶ = 64. In dit artikel leer je rekenen met machten. Aan het eind vereenvoudig je wortels zoals √72.

Steeds dezelfde factor

Een macht is een vermenigvuldiging met steeds dezelfde factor.

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

Het getal 5 heet het grondtal. Het kleine getal 3 rechtsboven heet de exponent. De exponent zegt hoeveel factoren er zijn.

Twee machten hebben een eigen naam. Je zegt "a kwadraat" tegen a². Dat is de oppervlakte van een vierkant met zijde a. Je zegt "a tot de derde" tegen a³. Dat is de inhoud van een kubus met ribbe a.

Een kwadraat en een kubus

a = 3

Vierkant

Kubus

Vierkant

3² = 3 · 3 = 9

Kubus

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Toon de getallen

a	a²	a³
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216

Bij a = 3 tel je 9 tegels en 27 blokjes. Bij a = 4 zijn het 16 tegels en 64 blokjes. De kubus groeit veel sneller dan het vierkant.

De vier rekenregels

Er zijn vier rekenregels voor machten. Je hoeft ze niet te stampen. Schrijf elke macht uit als losse factoren en tel ze. Dat doet de figuur hieronder ook.

Tel de factoren

VermenigvuldigenDelenMacht van een machtMacht van een product

m = 3n = 2

a³ · a² = a³⁺² = a⁵

• uit de eerste macht
• uit de tweede macht

aaa·aa

Regel

a^m · aⁿ = a^m+n

Exponent

3 + 2 = 5

Machten vermenigvuldigen

Schrijf a³ · a² uit. Je krijgt (a · a · a) · (a · a). Dat zijn 5 factoren a.

a^m · aⁿ = a^m+n

Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op. Dat mag alleen als de grondtallen gelijk zijn.

Machten delen

a⁵ : a² is een breuk. Boven de streep staan 5 factoren a, eronder 2. Twee paren vallen tegen elkaar weg. Er blijven 3 factoren over.

a^m : aⁿ = a^m−n

Bij delen trek je de exponenten af.

Een macht van een macht

(a²)³ betekent a² · a² · a². Dat zijn 3 groepjes van 2 factoren. Samen 6 factoren.

(a^m)ⁿ = a^m·n

Bij een macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten.

Een macht van een product

(ab)³ betekent ab · ab · ab. Zet de a's bij elkaar en de b's bij elkaar. Dan staat er a · a · a · b · b · b = a³b³.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

De exponent hoort bij elke factor tussen de haakjes. Ook bij een getal:

(3a²)² = 3² · (a²)² = 9a⁴

Regels combineren

Vaak heb je meer regels tegelijk nodig. Werk dan stap voor stap. Een losse a is a¹.

(a²)³ · a = a⁶ · a¹ = a⁷

(2x³)² · x : x⁴ = 4x⁶ · x : x⁴ = 4x⁷ : x⁴ = 4x³

Met getallen kun je een regel controleren. 2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128. En 2⁷ is ook 128.

De exponent 0 en negatieve exponenten

Kijk naar dit rijtje. Elke stap naar links deel je door 2.

2³ = 8
2² = 4
2¹ = 2

Ga nog een stap naar links. Dan krijg je 2⁰ = 2 : 2 = 1. Nog een stap geeft 2⁻¹ = 1 : 2 = 12. Zo loopt het rijtje door onder de 0.

Steeds door 2

n = 3

← gedeeld door 2keer 2 →

2³

2 · 2 · 2 = 8

Toon de getallen

n	2 tot de macht n	Als decimaal getal
−3	1/8	0,125
−2	1/4	0,25
−1	1/2	0,5
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	8	8
4	16	16
5	32	32
6	64	64

De deelregel zegt hetzelfde. a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰. Een getal gedeeld door zichzelf is 1. Dus:

a⁰ = 1

Dit geldt voor elk grondtal behalve 0.

Neem nu a² : a⁵. Boven de streep staan 2 factoren, eronder 5. Na het wegstrepen staan er onder de streep nog 3. Er blijft 1a³ over. De deelregel geeft a²⁻⁵ = a⁻³. Dat is dus hetzelfde.

a⁻ⁿ = 1aⁿ

Twee voorbeelden:

5⁻² = 15² = 125 = 0,04
10⁻³ = 110³ = 11000 = 0,001

Mintekens en haakjes

Bij een min-teken voor een macht maken haakjes het verschil.

(−3)² = (−3) · (−3) = 9
−3² = −(3 · 3) = −9

In (−3)² hoort de min bij het grondtal. In −3² hoort de min er niet bij. Je rekent eerst 3² = 9 uit. Daarna zet je de min ervoor.

Min keer min is plus. Bij een even exponent komt er dus altijd een positief getal uit. Bij een oneven exponent blijft er een min over: (−2)³ = −8.

(a + b)² is niet a² + b²

De regel (ab)ⁿ = aⁿbⁿ geldt voor een product. Voor een som geldt hij niet. Neem a = 3 en b = 2.

(3 + 2)² = 5² = 25
3² + 2² = 9 + 4 = 13

Er ontbreekt 12. De figuur laat zien waar dat zit.

Het vierkant van a + b

a = 3b = 2

• a²
• b²
• ab, twee keer

(a + b)²

(3 + 2)² = 5² = 25

a² + b²

3² + 2² = 9 + 4 = 13

Wat a² + b² mist

2 · 3 · 2 = 12

Toon de getallen

Stuk	Oppervlakte
a²	9
ab	6
ab	6
b²	4
Samen: (a + b)²	25

Het vierkant met zijde a + b bestaat uit vier stukken. Er is een vierkant a² en een vierkant b². Daarnaast liggen twee rechthoeken van a bij b. Die twee rechthoeken vergeet je bij a² + b². Bij a = 3 en b = 2 is dat 2 · 3 · 2 = 12.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Wortels vereenvoudigen

De wortel is het omgekeerde van het kwadraat. √49 is het positieve getal dat in het kwadraat 49 geeft. Dat is 7, want 7² = 49. Een vierkant van 49 tegels heeft dus zijde 7.

Een wortel van een product mag je splitsen.

√(ab) = √a · √b

Controleer het met getallen. √(4 · 9) = √36 = 6. En √4 · √9 = 2 · 3 = 6.

Met deze regel maak je een wortel eenvoudiger. Zoek het grootste kwadraat dat in het getal past. In 72 past 36, want 72 = 36 · 2.

√72 = √36 · √2 = 6√2

6√2 is de precieze waarde. Als decimaal getal is het ongeveer 8,49.

Tegels in vierkanten

Getal: 72

Grootste kwadraat

36 = 6²

Splitsen

72 = 36 · 2

Wortel

√72 = √36 · √2 = 6√2

Ongeveer

≈ 8,49

Toon de getallen

Getal	Kwadraat · rest	Wortel	Ongeveer
8	4 · 2	2√2	2,83
12	4 · 3	2√3	3,46
18	9 · 2	3√2	4,24
20	4 · 5	2√5	4,47
24	4 · 6	2√6	4,90
27	9 · 3	3√3	5,20
32	16 · 2	4√2	5,66
36	36 · 1	6	6
45	9 · 5	3√5	6,71
48	16 · 3	4√3	6,93
50	25 · 2	5√2	7,07
72	36 · 2	6√2	8,49
98	49 · 2	7√2	9,90

Leg 72 tegels in gelijke vierkanten die zo groot zijn als kan. Dan krijg je twee vierkanten van 6 bij 6. De zijde 6 komt voor de wortel. Het aantal vierkanten, 2, blijft onder de wortel.

De regels op een rij

• a^m · aⁿ = a^m+n
• a^m : aⁿ = a^m−n
• (a^m)ⁿ = a^m·n
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• a⁰ = 1 en a⁻ⁿ = 1aⁿ
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• √(ab) = √a · √b