Pitágoras no plano e no espaço

Encoste uma escada numa parede. A escada, a parede e o chão formam um triângulo com um ângulo reto. O teorema de Pitágoras fala de triângulos assim. Se você conhece dois lados, consegue calcular o terceiro.

Primeiro você vê por que o teorema é verdadeiro. Depois você usa o teorema em quatro situações, de um plano até uma caixa.

Reconhecer a hipotenusa

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90°. No desenho, você marca esse ângulo com um quadradinho.

• Os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos. Chamamos esses lados de a e b.
• O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Chamamos esse lado de c.

A hipotenusa é sempre o lado mais comprido. Gire o triângulo abaixo. A posição muda a cada vez, mas c continua em frente ao quadradinho.

Gire o triângulo

• Catetos a e b
• Hipotenusa c

Giro = 0°

Por que a² + b² = c²

Desenhe um quadrado sobre cada lado. O quadrado sobre o lado a tem área a². Do mesmo jeito você obtém b² e c². O teorema de Pitágoras diz:

a² + b² = c²

Em palavras: os quadrados sobre os dois catetos, juntos, são do tamanho do quadrado sobre a hipotenusa.

Arraste os dois vértices ou use os controles deslizantes. O triângulo começa com a = 3 e b = 4.

Arraste os vértices

• Quadrado sobre a
• Quadrado sobre b
• Quadrado sobre a hipotenusa c

a = 3b = 4

a² + b²

3² + 4² = 9 + 16 = 25

c

√25 = 5

Ver os números

Lado	Comprimento	Área
a	3	9
b	4	16
c	5	25

• Com a = 3 e b = 4 você conta 9 e 16 quadradinhos. Juntos são 25. O quadrado grande também tem 25 quadradinhos, então c = 5.
• Com a = 1 e b = 2, c² = 1 + 4 = 5. Então c = √5 ≈ 2,24. Não é um número inteiro, mas as áreas continuam batendo.

A demonstração com quatro triângulos

Alguns exemplos ainda não provam nada. Esta demonstração vale para qualquer triângulo retângulo.

Pegue um quadrado grande de lado a + b. Coloque dentro dele quatro cópias do mesmo triângulo, com catetos a e b. Dá para fazer isso de dois jeitos. Toque nos botões para trocar.

Por que sempre funciona

Triângulos nos cantosTriângulos em pares

Sobra um quadrado inclinado: c².

• Com os triângulos nos cantos, sobra no meio um quadrado inclinado. Os lados dele são hipotenusas, então a área é c².
• Com os triângulos em pares, sobram dois quadrados. Um mede a por a e o outro b por b. Juntos dão a² + b².

O quadrado grande é o mesmo nas duas vezes. Os quatro triângulos também. Por isso o que sobra também tem o mesmo tamanho: c² = a² + b².

A peça inclinada é mesmo um quadrado. Em cada vértice dela ficam os dois ângulos agudos do triângulo. Juntos eles somam 90°, porque os três ângulos de um triângulo somam 180°. Um ângulo raso também mede 180°. Então para o ângulo da peça do meio sobram 180° − 90° = 90°.

Calcular um lado

A hipotenusa

Os catetos medem 6 e 8. Quanto mede a hipotenusa? Escreva cada passo numa linha nova.

c² = a² + b²
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = √100 = 10

A hipotenusa mede 10. Verificação: 10 é maior que 6 e maior que 8, mas menor que 6 + 8 = 14.

Muitas vezes não sai um número inteiro. Com catetos 5 e 7:

c² = 5² + 7²
c² = 25 + 49
c² = 74
c = √74 ≈ 8,60

Um cateto

A hipotenusa mede 13 e um cateto mede 5. Comece de novo com a² + b² = c² e coloque cada número no lugar certo. O 13 é c, porque fica em frente ao ângulo reto.

a² + b² = c²
5² + b² = 13²
25 + b² = 169
b² = 169 − 25
b² = 144
b = √144 = 12

Verificação: 12 é menor que 13. Se você tivesse somado por engano, daria √194 ≈ 13,93. Isso é maior que a hipotenusa, então não pode ser.

Resumindo:

• Para achar a hipotenusa, você soma os quadrados.
• Para achar um cateto, você subtrai o quadrado pequeno do grande.

Na prática: a escada

Uma escada de 5 metros está encostada numa parede. O pé dela fica a 1,4 metro da parede. Até que altura a escada chega? A escada é a hipotenusa. A altura h é um cateto.

h² + 1,4² = 5²
h² + 1,96 = 25
h² = 25 − 1,96
h² = 23,04
h = √23,04 = 4,8

A escada chega a 4,8 metros de altura.

Verificar um ângulo reto

O teorema também funciona ao contrário. Pegue um triângulo com lados a, b e c, em que c é o maior. Se a² + b² = c², o ângulo oposto a c mede exatamente 90°. Se não, o triângulo não tem ângulo reto.

Um triângulo com lados 5, 12 e 13. O lado maior é 13.

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
169 = 169, então o ângulo oposto a 13 é reto.

Um triângulo com lados 6, 7 e 9. O lado maior é 9.

6² + 7² = 36 + 49 = 85
9² = 81
85 ≠ 81, então o triângulo não tem ângulo reto.

A diferença é só 4. O ângulo oposto a 9 mede cerca de 87,3°. A olho parece reto, mas não é. Escolha um triângulo abaixo e compare.

Reto ou não

Escolha um triângulo

3, 4, 55, 12, 138, 15, 176, 7, 92, 3, 4

• Lado maior
• Os outros dois lados

a² + b²

6² + 7² = 36 + 49 = 85

c²

9² = 81

Ângulo oposto ao lado maior

≈ 87,3°

Conclusão

a² + b² é maior que c², então o ângulo é agudo: menor que 90°.

Ver os números

Lados	a² + b²	c²	Ângulo
3, 4, 5	25	25	90°
5, 12, 13	169	169	90°
8, 15, 17	289	289	90°
6, 7, 9	85	81	≈ 87,3°
2, 3, 4	13	16	≈ 104,5°

A diferença também diz alguma coisa:

• Se a² + b² é maior que c², o maior ângulo é agudo: menor que 90°.
• Se a² + b² é menor que c², esse ângulo é obtuso: maior que 90°. Com 2, 3 e 4, 4 + 9 = 13 é menor que 16. O ângulo mede cerca de 104,5°.

Carpinteiros usam isso para marcar um ângulo reto. Eles medem 30 cm de um lado e 40 cm do outro. Se a distância entre as duas marcas for exatamente 50 cm, o ângulo é reto. Isso porque 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50².

A distância entre dois pontos

No plano cartesiano, nem sempre dá para contar a distância entre dois pontos pelas linhas da malha. Uma linha inclinada atravessa os quadradinhos. Mas você pode fazer um degrau: primeiro para o lado, depois para cima. Esses dois passos e a linha inclinada formam um triângulo retângulo.

Pegue A(−3; −2) e B(1; 1).

para o lado: 1 − (−3) = 4
para cima: 1 − (−2) = 3
AB² = 4² + 3²
AB² = 16 + 9
AB² = 25
AB = √25 = 5

Arraste A e B abaixo. Você também pode tocar na malha. Aí o ponto mais próximo pula para lá.

Arraste os pontos

• Passo para o lado e passo para cima
• Distância AB

A, B

(−3; −2), (1; 1)

Para o lado

1 − (−3) = 4

Para cima ou para baixo

1 − (−2) = 3

AB

√(4² + 3²) = √25 = 5

Ver os números

Ponto	x	y
A	−3	−2
B	1	1

Como fórmula, com A(x_A; y_A) e B(x_B; y_B):

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)

A ordem não importa. Um passo negativo fica positivo quando você eleva ao quadrado.

Mais um exemplo: A(−2; 1) e B(4; 9).

x_B − x_A = 4 − (−2) = 6
y_B − y_A = 9 − 1 = 8
AB² = 6² + 8²
AB² = 36 + 64
AB² = 100
AB = √100 = 10

No espaço: a diagonal de uma caixa

Uma caixa tem 4 de comprimento, 3 de largura e 12 de altura. A diagonal do paralelepípedo vai de um canto de baixo, atravessando a caixa, até o canto oposto de cima. Você calcula essa diagonal em dois passos, usando Pitágoras duas vezes.

Passo 1: a diagonal da base. A base é um retângulo de 4 por 3. A diagonal d dela é a hipotenusa de um triângulo na base.

d² = 4² + 3²
d² = 16 + 9
d² = 25
d = √25 = 5

Passo 2: a diagonal do paralelepípedo. A diagonal da base e uma aresta em pé formam um ângulo reto. A diagonal D é a hipotenusa desse triângulo em pé.

D² = d² + 12²
D² = 25 + 144
D² = 169
D = √169 = 13

Mude o comprimento, a largura e a altura com os controles deslizantes.

A diagonal de uma caixa

Comprimento = 4Largura = 3Altura = 12

• Diagonal da base
• Diagonal do paralelepípedo

Diagonal da base

√(4² + 3²) = √25 = 5

Diagonal do paralelepípedo

√(25 + 12²) = √169 = 13

Ver os números

Medida	Valor
Comprimento	4
Largura	3
Altura	12
Diagonal da base	√25 = 5
Diagonal do paralelepípedo	√169 = 13

No passo 2 você usa d² = 25. Então você não precisa da raiz do passo 1. Por isso dá para fazer tudo de uma vez:

D = √(comprimento² + largura² + altura²)
D = √(4² + 3² + 12²)
D = √(16 + 9 + 144)
D = √169 = 13

Um bastão de 60 cm cabe numa caixa de 40 por 30 por 30 cm?

d² = 40² + 30²
d² = 1600 + 900
d² = 2500
D² = 2500 + 30²
D² = 2500 + 900
D² = 3400
D = √3400 ≈ 58,3

A linha mais comprida dentro da caixa mede cerca de 58,3 cm. Então o bastão de 60 cm não cabe.

Tente você