Sinus en cosinus op de eenheidscirkel

Stel je een reuzenrad voor op de kermis. Je bakje begint rechts, precies op de hoogte van de as, en het rad draait linksom. Je gaat eerst naar de top, dan naar links, dan naar de bodem en weer terug. Met sinus en cosinus reken je voor elke draaihoek uit waar je bakje is: hoe hoog, en hoe ver naar links of rechts. Het hulpmiddel daarvoor is de eenheidscirkel.

Van driehoek naar eenheidscirkel

Sinus, cosinus en tangens ken je misschien al uit de rechthoekige driehoek. Het ezelsbruggetje is SOS CAS TOA:

sin α = overstaand ÷ schuin
cos α = aanliggend ÷ schuin
tan α = overstaand ÷ aanliggend

Neem de driehoek met zijden 3, 4 en 5. De hoek α ligt tegenover de zijde van 3. Dan:

sin α = 3 ÷ 5 = 0,6
cos α = 4 ÷ 5 = 0,8

Deel nu alle zijden door 5. De vorm blijft hetzelfde, dus de hoek α ook. De zijden worden 0,6, 0,8 en 1. Met een schuine zijde van 1 hoef je niet meer te delen. sin α is dan gewoon de overstaande zijde, en cos α de aanliggende.

Van driehoek naar eenheidscirkel

alle zijden ÷ 5

Toon de getallen

Zijde	Driehoek 3, 4, 5	Gedeeld door 5
overstaand	3	0,6
aanliggend	4	0,8
schuin	5	1

Leg die kleine driehoek in een assenstelsel, met de hoek α in de oorsprong O. Het hoekpunt P ligt dan op een cirkel met straal 1: de eenheidscirkel. Voor P geldt:

x = cos α
y = sin α

Dit is de afspraak voor elke hoek, ook voor hoeken boven 90°. Daar past geen rechthoekige driehoek meer, maar een punt P op de cirkel heb je altijd.

Draai P rond de cirkel

Een hoek meet je vanaf de positieve x-as, linksom. Sleep P hieronder rond, of gebruik de schuifbalk. De lijn langs de x-as is cos α. De lijn omhoog of omlaag is sin α.

Draai P rond de eenheidscirkel

• cos α (x)
• sin α (y)

Hoek α: 40°

cos 40° (x)

≈ 0,766

sin 40° (y)

≈ 0,643

tan 40°

≈ 0,839

Kwadrant

I: cos +, sin +

Spiegel in de y-as: 180° − αSpiegel in de x-as: −α

Toon de tekens per kwadrant

Kwadrant	Hoeken	cos	sin	tan
I	0° < α < 90°	+	+	+
II	90° < α < 180°	−	+	−
III	180° < α < 270°	−	−	+
IV	270° < α < 360°	+	−	−

De assen verdelen de cirkel in vier kwadranten. In elk kwadrant hebben x en y een vast teken, en dus cos α en sin α ook:

• Kwadrant I, van 0° tot 90°: cos +, sin +
• Kwadrant II, van 90° tot 180°: cos −, sin +
• Kwadrant III, van 180° tot 270°: cos −, sin −
• Kwadrant IV, van 270° tot 360°: cos +, sin −

Voorbeeld: α = 140°. P ligt in kwadrant II, links van de y-as en boven de x-as. De x is negatief en de y positief:

cos 140° ≈ −0,766
sin 140° ≈ 0,643

Op de assen komen de getallen precies uit. Bij 90° staat P bovenaan, in (0; 1). Dus cos 90° = 0 en sin 90° = 1. Bij 180° staat P links, in (−1; 0): cos 180° = −1 en sin 180° = 0. Bij 270° staat P onderaan: sin 270° = −1.

Waarom sin 140° = sin 40°

Spiegel P bij 40° in de y-as. Het spiegelbeeld P′ ligt bij 180° − 40° = 140°. Beide punten liggen even hoog. De y is dus gelijk, en daarmee de sinus. De x wisselt alleen van teken.

sin 140° = sin 40°

sin 40°

≈ 0,643

sin 140°

≈ 0,643

cos 40°

≈ 0,766

cos 140°

≈ −0,766

Toon de getallen

Hoek	sin α	cos α
40°	0,643	0,766
140°	0,643	−0,766

sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = −cos α

Voorbeeld: je weet dat sin 20° ≈ 0,342. Omdat 160° = 180° − 20°, weet je dan ook sin 160°:

sin 160° = sin 20° ≈ 0,342

cos(−α) = cos α

Een negatieve hoek draai je rechtsom. Bij −40° kom je uit op het spiegelbeeld van P in de x-as. Dat punt ligt recht onder P: dezelfde x, maar de y met het andere teken.

cos(−40°) = cos 40°

cos 40°

≈ 0,766

cos(−40°)

≈ 0,766

sin 40°

≈ 0,643

sin(−40°)

≈ −0,643

Toon de getallen

Hoek	sin α	cos α
40°	0,643	0,766
−40°	−0,643	0,766

cos(−α) = cos α
sin(−α) = −sin α

Dus cos(−40°) = cos 40° ≈ 0,766 en sin(−40°) = −sin 40° ≈ −0,643. De hoek −40° geeft hetzelfde punt als 360° − 40° = 320°. In de draaibare cirkel hierboven zie je beide spiegelingen voor elke hoek. Zet ze aan met de knoppen.

Pythagoras en tangens

Kijk weer naar de driehoek in de cirkel. De rechthoekszijden zijn cos α en sin α, de schuine zijde is 1. Pythagoras geeft:

sin²α + cos²α = 1

Hier betekent sin²α hetzelfde als (sin α)². Controleer het met de driehoek 0,6, 0,8 en 1:

0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1

Het geldt voor elke hoek. P ligt altijd op de cirkel, dus x² + y² = 1. Een min verdwijnt door het kwadraat vanzelf. Bij 140° geeft het, op drie decimalen: 0,413 + 0,587 = 1,000.

Pythagoras en tangens in één tekening

cos²α + sin²α = 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1
tan α = 0,6 ÷ 0,8 = 0,75

Toon de getallen

cos α	sin α	tan α	α
0,8	0,6	0,75	≈ 36,9°

Met deze regel vind je cos α als je sin α kent. Voorbeeld: sin α = 0,6 en α ligt in kwadrant II.

cos²α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64
cos α = −√0,64 = −0,8

De wortel geeft 0,8 of −0,8. In kwadrant II is de cosinus negatief, dus cos α = −0,8. De hoek zelf is ongeveer 143,1°.

De tangens volgt uit de sinus en de cosinus:

tan α = sin α ÷ cos α

Bij de driehoek 3, 4, 5 geeft dat 0,6 ÷ 0,8 = 0,75. Dat is precies overstaand ÷ aanliggend = 3 ÷ 4. In de tekening is tan α de hoogte waar de lijn door O en P de lijn x = 1 raakt. Bij 45° zijn sin α en cos α gelijk, dus tan 45° = 1. Bij 90° is cos α = 0. Delen door 0 kan niet, dus tan 90° bestaat niet.

De grafieken van 0° tot 360°

Zet de hoek horizontaal en de y van P verticaal. Dan krijg je de grafiek van sin α. Doe hetzelfde met de x van P, en je krijgt cos α. Sleep de verticale lijn, tik op de grafiek of gebruik de schuifbalk. P in de cirkel hierboven draait mee.

De grafieken van sin α en cos α

• sin α
• cos α

Hoek α: 40°

sin 40°

≈ 0,643

cos 40°

≈ 0,766

Toon de hoek met dezelfde sinus

Toon de getallen

Hoek α	sin α	cos α
0°	0,000	1,000
30°	0,500	0,866
45°	0,707	0,707
60°	0,866	0,500
90°	1,000	0,000
120°	0,866	−0,500
135°	0,707	−0,707
150°	0,500	−0,866
180°	0,000	−1,000
210°	−0,500	−0,866
225°	−0,707	−0,707
240°	−0,866	−0,500
270°	−1,000	0,000
300°	−0,866	0,500
315°	−0,707	0,707
330°	−0,500	0,866
360°	0,000	1,000

Wat je in de grafiek ziet:

• sin α begint bij 0, is 1 bij 90°, 0 bij 180°, −1 bij 270° en weer 0 bij 360°.
• cos α begint bij 1, is 0 bij 90°, −1 bij 180°, 0 bij 270° en weer 1 bij 360°.
• Beide golven blijven tussen −1 en 1, want P ligt op een cirkel met straal 1.
• De cosinusgrafiek is de sinusgrafiek, 90° naar links geschoven: cos α = sin(α + 90°).

De sinusgrafiek is de hoogte van je bakje in het reuzenrad, gemeten vanaf de as. Heeft het rad een straal van 10 m, dan is alles 10 keer zo groot. Na een draai van 30° zit je 10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5 m boven de as.

sin α = 0,5 oplossen

Zoek alle hoeken tussen 0° en 360° met sin α = 0,5. De rekenmachine geeft er één, met de omgekeerde sinus:

sin⁻¹(0,5) = 30°

Er is nog een tweede hoek. De lijn y = 0,5 snijdt de cirkel twee keer. Het tweede punt is het spiegelbeeld in de y-as:

α = 180° − 30° = 150°

sin α = 0,5 heeft twee oplossingen

sin 30°

= 0,5

sin 150°

= 0,5

Toon de getallen

Hoek α	sin α
30°	0,5
150°	0,5

Controle: sin 150° = sin 30° = 0,5. In de grafiek zie je hetzelfde. De lijn y = 0,5 snijdt de sinusgolf bij 30° en bij 150°.

Bij een negatieve waarde werkt het net zo. Los op: sin α = −0,5. De rekenmachine geeft sin⁻¹(−0,5) = −30°. Die hoek is hetzelfde punt als 360° − 30° = 330°. Het spiegelbeeld in de y-as ligt bij 180° + 30° = 210°. Dus α = 210° of α = 330°.

Bij de cosinus spiegel je in de x-as. Los op: cos α = 0,5. De rekenmachine geeft cos⁻¹(0,5) = 60°. De tweede oplossing is 360° − 60° = 300°.

Probeer het zelf