Seno e cosseno no círculo unitário

Imagine uma roda-gigante num parque de diversões. Sua cadeira começa à direita, na mesma altura do centro da roda, e a roda gira no sentido anti-horário. Você sobe até o topo, passa para a esquerda, desce até embaixo e volta. Com o seno e o cosseno você calcula onde sua cadeira está para qualquer ângulo: a que altura, e quanto para a esquerda ou para a direita. A ferramenta para isso é o círculo unitário.

Em português escrevemos sen no lugar de sin. A calculadora mostra sin, mas é a mesma função.

Do triângulo ao círculo unitário

Talvez você já conheça o seno, o cosseno e a tangente do triângulo retângulo:

sen α = cateto oposto ÷ hipotenusa
cos α = cateto adjacente ÷ hipotenusa
tan α = cateto oposto ÷ cateto adjacente

Pegue o triângulo de lados 3, 4 e 5. O ângulo α fica de frente para o lado que mede 3. Então:

sen α = 3 ÷ 5 = 0,6
cos α = 4 ÷ 5 = 0,8

Agora divida todos os lados por 5. A forma não muda, então o ângulo α também não. Os lados ficam 0,6, 0,8 e 1. Com uma hipotenusa de 1, não é mais preciso dividir. sen α é simplesmente o cateto oposto, e cos α é o adjacente.

Do triângulo ao círculo unitário

todos os lados ÷ 5

Mostrar os números

Lado	Triângulo 3, 4, 5	Dividido por 5
cateto oposto	3	0,6
cateto adjacente	4	0,8
hipotenusa	5	1

Coloque esse triângulo pequeno num plano cartesiano, com o ângulo α na origem O. O vértice P fica sobre uma circunferência de raio 1: o círculo unitário. Para P vale:

x = cos α
y = sen α

Essa é a definição para qualquer ângulo, inclusive os maiores que 90°. Ali já não cabe um triângulo retângulo, mas sempre existe um ponto P no círculo.

Gire P em volta do círculo

Um ângulo é medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. Arraste P aqui embaixo ou use o controle deslizante. A linha sobre o eixo x é cos α. A linha que sobe ou desce é sen α.

Gire P em volta do círculo unitário

• cos α (x)
• sen α (y)

Ângulo α: 40°

cos 40° (x)

≈ 0,766

sen 40° (y)

≈ 0,643

tan 40°

≈ 0,839

Quadrante

I: cos +, sen +

Refletir no eixo y: 180° − αRefletir no eixo x: −α

Mostrar os sinais por quadrante

Quadrante	Ângulos	cos	sen	tan
I	0° < α < 90°	+	+	+
II	90° < α < 180°	−	+	−
III	180° < α < 270°	−	−	+
IV	270° < α < 360°	+	−	−

Os eixos dividem o círculo em quatro quadrantes. Em cada quadrante, x e y têm um sinal fixo, e por isso cos α e sen α também:

• Quadrante I, de 0° a 90°: cos +, sen +
• Quadrante II, de 90° a 180°: cos −, sen +
• Quadrante III, de 180° a 270°: cos −, sen −
• Quadrante IV, de 270° a 360°: cos +, sen −

Exemplo: α = 140°. P está no quadrante II, à esquerda do eixo y e acima do eixo x. Então x é negativo e y é positivo:

cos 140° ≈ −0,766
sen 140° ≈ 0,643

Sobre os eixos os valores são exatos. Em 90°, P está no topo, em (0; 1). Então cos 90° = 0 e sen 90° = 1. Em 180°, P está à esquerda, em (−1; 0): cos 180° = −1 e sen 180° = 0. Em 270°, P está embaixo: sen 270° = −1.

Por que sen 140° = sen 40°

Reflita P, em 40°, no eixo y. A imagem P′ fica em 180° − 40° = 140°. Os dois pontos estão na mesma altura. O y deles é igual, e portanto o seno também. Só o sinal de x muda.

sen 140° = sen 40°

sen 40°

≈ 0,643

sen 140°

≈ 0,643

cos 40°

≈ 0,766

cos 140°

≈ −0,766

Mostrar os números

Ângulo	sen α	cos α
40°	0,643	0,766
140°	0,643	−0,766

sen(180° − α) = sen α
cos(180° − α) = −cos α

Exemplo: você sabe que sen 20° ≈ 0,342. Como 160° = 180° − 20°, você também sabe sen 160°:

sen 160° = sen 20° ≈ 0,342

cos(−α) = cos α

Um ângulo negativo gira no sentido horário. Em −40° você chega à imagem de P refletida no eixo x. Esse ponto fica bem embaixo de P: o mesmo x, e o y com o sinal trocado.

cos(−40°) = cos 40°

cos 40°

≈ 0,766

cos(−40°)

≈ 0,766

sen 40°

≈ 0,643

sen(−40°)

≈ −0,643

Mostrar os números

Ângulo	sen α	cos α
40°	0,643	0,766
−40°	−0,643	0,766

cos(−α) = cos α
sen(−α) = −sen α

Então cos(−40°) = cos 40° ≈ 0,766 e sen(−40°) = −sen 40° ≈ −0,643. O ângulo −40° dá o mesmo ponto que 360° − 40° = 320°. No círculo que você pode girar, mais acima, os botões mostram as duas reflexões para qualquer ângulo.

Pitágoras e tangente

Olhe de novo para o triângulo dentro do círculo. Os catetos são cos α e sen α, e a hipotenusa é 1. Pitágoras dá:

sen²α + cos²α = 1

Aqui sen²α quer dizer (sen α)². Confira com o triângulo 0,6, 0,8 e 1:

0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1

Vale para qualquer ângulo. P está sempre no círculo, então x² + y² = 1. Ao elevar ao quadrado, o sinal de menos some sozinho. Em 140°, com três casas decimais: 0,413 + 0,587 = 1,000.

Pitágoras e tangente num só desenho

cos²α + sen²α = 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1
tan α = 0,6 ÷ 0,8 = 0,75

Mostrar os números

cos α	sen α	tan α	α
0,8	0,6	0,75	≈ 36,9°

Com essa regra você encontra cos α quando conhece sen α. Exemplo: sen α = 0,6 e α está no quadrante II.

cos²α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64
cos α = −√0,64 = −0,8

A raiz dá 0,8 ou −0,8. No quadrante II o cosseno é negativo, então cos α = −0,8. O ângulo mede cerca de 143,1°.

A tangente vem do seno e do cosseno:

tan α = sen α ÷ cos α

Para o triângulo 3, 4, 5 isso dá 0,6 ÷ 0,8 = 0,75. É exatamente cateto oposto ÷ cateto adjacente = 3 ÷ 4. No desenho, tan α é a altura onde a reta que passa por O e P encontra a reta x = 1. Em 45°, sen α e cos α são iguais, então tan 45° = 1. Em 90°, cos α = 0. Não dá para dividir por 0, então tan 90° não existe.

Os gráficos de 0° a 360°

Coloque o ângulo no eixo horizontal e o y de P no vertical. Assim você obtém o gráfico de sen α. Faça o mesmo com o x de P e você obtém cos α. Arraste a linha vertical, toque no gráfico ou use o controle deslizante. P gira junto no círculo lá em cima.

Os gráficos de sen α e cos α

• sen α
• cos α

Ângulo α: 40°

sen 40°

≈ 0,643

cos 40°

≈ 0,766

Mostrar o ângulo com o mesmo seno

Mostrar os números

Ângulo α	sen α	cos α
0°	0,000	1,000
30°	0,500	0,866
45°	0,707	0,707
60°	0,866	0,500
90°	1,000	0,000
120°	0,866	−0,500
135°	0,707	−0,707
150°	0,500	−0,866
180°	0,000	−1,000
210°	−0,500	−0,866
225°	−0,707	−0,707
240°	−0,866	−0,500
270°	−1,000	0,000
300°	−0,866	0,500
315°	−0,707	0,707
330°	−0,500	0,866
360°	0,000	1,000

O que o gráfico mostra:

• sen α começa em 0, vale 1 em 90°, 0 em 180°, −1 em 270° e de novo 0 em 360°.
• cos α começa em 1, vale 0 em 90°, −1 em 180°, 0 em 270° e de novo 1 em 360°.
• As duas ondas ficam entre −1 e 1, porque P está num círculo de raio 1.
• O gráfico do cosseno é o do seno deslocado 90° para a esquerda: cos α = sen(α + 90°).

O gráfico do seno é a altura da sua cadeira, medida a partir do centro da roda. Se a roda tem raio de 10 m, tudo fica 10 vezes maior. Depois de girar 30°, você está 10 × sen 30° = 10 × 0,5 = 5 m acima do centro.

Resolver sen α = 0,5

Procure todos os ângulos entre 0° e 360° com sen α = 0,5. A calculadora dá um, com o seno inverso:

sen⁻¹(0,5) = 30°

Existe um segundo ângulo. A reta y = 0,5 corta o círculo duas vezes. O segundo ponto é o reflexo no eixo y:

α = 180° − 30° = 150°

sen α = 0,5 tem duas soluções

sen 30°

= 0,5

sen 150°

= 0,5

Mostrar os números

Ângulo α	sen α
30°	0,5
150°	0,5

Conferindo: sen 150° = sen 30° = 0,5. No gráfico se vê a mesma coisa. A reta y = 0,5 corta a onda do seno em 30° e em 150°.

Com um valor negativo funciona igual. Resolva sen α = −0,5. A calculadora dá sen⁻¹(−0,5) = −30°. Esse ângulo é o mesmo ponto que 360° − 30° = 330°. O reflexo dele no eixo y fica em 180° + 30° = 210°. Então α = 210° ou α = 330°.

Com o cosseno você reflete no eixo x. Resolva cos α = 0,5. A calculadora dá cos⁻¹(0,5) = 60°. A segunda solução é 360° − 60° = 300°.

Tente você