Seno y coseno en el círculo unitario

Imagina una rueda de la fortuna en la feria. Tu cabina empieza a la derecha, a la misma altura que el centro de la rueda, y la rueda gira en sentido antihorario. Subes hasta arriba, pasas a la izquierda, bajas hasta abajo y vuelves. Con el seno y el coseno calculas dónde está tu cabina para cualquier ángulo: a qué altura, y qué tan a la izquierda o a la derecha. La herramienta para eso es el círculo unitario.

En español escribimos sen en lugar de sin. La calculadora dice sin, pero es la misma función.

Del triángulo al círculo unitario

Quizás ya conoces el seno, el coseno y la tangente del triángulo rectángulo:

sen α = cateto opuesto ÷ hipotenusa
cos α = cateto adyacente ÷ hipotenusa
tan α = cateto opuesto ÷ cateto adyacente

Toma el triángulo de lados 3, 4 y 5. El ángulo α está frente al lado que mide 3. Entonces:

sen α = 3 ÷ 5 = 0.6
cos α = 4 ÷ 5 = 0.8

Ahora divide todos los lados entre 5. La forma no cambia, así que el ángulo α tampoco. Los lados quedan en 0.6, 0.8 y 1. Con una hipotenusa de 1 ya no hace falta dividir. sen α es simplemente el cateto opuesto, y cos α el adyacente.

Del triángulo al círculo unitario

todos los lados ÷ 5

Ver los números

Lado	Triángulo 3, 4, 5	Dividido entre 5
cateto opuesto	3	0.6
cateto adyacente	4	0.8
hipotenusa	5	1

Coloca ese triángulo pequeño en un plano cartesiano, con el ángulo α en el origen O. El vértice P queda sobre una circunferencia de radio 1: el círculo unitario. Para P se cumple:

x = cos α
y = sen α

Esta es la definición para cualquier ángulo, también para los mayores de 90°. Ahí ya no cabe un triángulo rectángulo, pero siempre hay un punto P en el círculo.

Gira P alrededor del círculo

Un ángulo se mide desde el eje x positivo, en sentido antihorario. Arrastra P aquí abajo o usa el control deslizante. La línea sobre el eje x es cos α. La línea que sube o baja es sen α.

Gira P alrededor del círculo unitario

• cos α (x)
• sen α (y)

Ángulo α: 40°

cos 40° (x)

≈ 0.766

sen 40° (y)

≈ 0.643

tan 40°

≈ 0.839

Cuadrante

I: cos +, sen +

Reflejar en el eje y: 180° − αReflejar en el eje x: −α

Ver los signos por cuadrante

Cuadrante	Ángulos	cos	sen	tan
I	0° < α < 90°	+	+	+
II	90° < α < 180°	−	+	−
III	180° < α < 270°	−	−	+
IV	270° < α < 360°	+	−	−

Los ejes dividen el círculo en cuatro cuadrantes. En cada cuadrante, x e y tienen un signo fijo, y por eso cos α y sen α también:

• Cuadrante I, de 0° a 90°: cos +, sen +
• Cuadrante II, de 90° a 180°: cos −, sen +
• Cuadrante III, de 180° a 270°: cos −, sen −
• Cuadrante IV, de 270° a 360°: cos +, sen −

Ejemplo: α = 140°. P está en el cuadrante II, a la izquierda del eje y y arriba del eje x. Entonces x es negativa e y es positiva:

cos 140° ≈ −0.766
sen 140° ≈ 0.643

Sobre los ejes los valores son exactos. A 90°, P está arriba, en (0, 1). Así que cos 90° = 0 y sen 90° = 1. A 180°, P está a la izquierda, en (−1, 0): cos 180° = −1 y sen 180° = 0. A 270°, P está abajo: sen 270° = −1.

Por qué sen 140° = sen 40°

Refleja P, a 40°, en el eje y. La imagen P′ queda a 180° − 40° = 140°. Los dos puntos están a la misma altura. Su y es igual, y por lo tanto su seno también. Solo cambia el signo de x.

sen 140° = sen 40°

sen 40°

≈ 0.643

sen 140°

≈ 0.643

cos 40°

≈ 0.766

cos 140°

≈ −0.766

Ver los números

Ángulo	sen α	cos α
40°	0.643	0.766
140°	0.643	−0.766

sen(180° − α) = sen α
cos(180° − α) = −cos α

Ejemplo: sabes que sen 20° ≈ 0.342. Como 160° = 180° − 20°, también sabes sen 160°:

sen 160° = sen 20° ≈ 0.342

cos(−α) = cos α

Un ángulo negativo gira en sentido horario. A −40° llegas a la imagen de P reflejada en el eje x. Ese punto está justo debajo de P: la misma x, y la y con el signo contrario.

cos(−40°) = cos 40°

cos 40°

≈ 0.766

cos(−40°)

≈ 0.766

sen 40°

≈ 0.643

sen(−40°)

≈ −0.643

Ver los números

Ángulo	sen α	cos α
40°	0.643	0.766
−40°	−0.643	0.766

cos(−α) = cos α
sen(−α) = −sen α

Entonces cos(−40°) = cos 40° ≈ 0.766 y sen(−40°) = −sen 40° ≈ −0.643. El ángulo −40° da el mismo punto que 360° − 40° = 320°. En el círculo que puedes girar, más arriba, los botones muestran las dos reflexiones para cualquier ángulo.

Pitágoras y tangente

Vuelve a mirar el triángulo dentro del círculo. Los catetos son cos α y sen α, y la hipotenusa es 1. Pitágoras da:

sen²α + cos²α = 1

Aquí sen²α significa (sen α)². Compruébalo con el triángulo 0.6, 0.8 y 1:

0.6² + 0.8² = 0.36 + 0.64 = 1

Se cumple para cualquier ángulo. P siempre está en el círculo, así que x² + y² = 1. Al elevar al cuadrado, el signo menos desaparece solo. A 140°, con tres decimales: 0.413 + 0.587 = 1.000.

Pitágoras y tangente en un solo dibujo

cos²α + sen²α = 0.8² + 0.6² = 0.64 + 0.36 = 1
tan α = 0.6 ÷ 0.8 = 0.75

Ver los números

cos α	sen α	tan α	α
0.8	0.6	0.75	≈ 36.9°

Con esta regla encuentras cos α si conoces sen α. Ejemplo: sen α = 0.6 y α está en el cuadrante II.

cos²α = 1 − 0.6² = 1 − 0.36 = 0.64
cos α = −√0.64 = −0.8

La raíz da 0.8 o −0.8. En el cuadrante II el coseno es negativo, así que cos α = −0.8. El ángulo mide unos 143.1°.

La tangente sale del seno y del coseno:

tan α = sen α ÷ cos α

Para el triángulo 3, 4, 5 eso da 0.6 ÷ 0.8 = 0.75. Es justo cateto opuesto ÷ cateto adyacente = 3 ÷ 4. En el dibujo, tan α es la altura donde la recta que pasa por O y P toca la recta x = 1. A 45°, sen α y cos α son iguales, así que tan 45° = 1. A 90°, cos α = 0. No se puede dividir entre 0, así que tan 90° no existe.

Las gráficas de 0° a 360°

Pon el ángulo en el eje horizontal y la y de P en el vertical. Así obtienes la gráfica de sen α. Haz lo mismo con la x de P y obtienes cos α. Arrastra la línea vertical, toca la gráfica o usa el control deslizante. P gira con ella en el círculo de arriba.

Las gráficas de sen α y cos α

• sen α
• cos α

Ángulo α: 40°

sen 40°

≈ 0.643

cos 40°

≈ 0.766

Mostrar el ángulo con el mismo seno

Ver los números

Ángulo α	sen α	cos α
0°	0.000	1.000
30°	0.500	0.866
45°	0.707	0.707
60°	0.866	0.500
90°	1.000	0.000
120°	0.866	−0.500
135°	0.707	−0.707
150°	0.500	−0.866
180°	0.000	−1.000
210°	−0.500	−0.866
225°	−0.707	−0.707
240°	−0.866	−0.500
270°	−1.000	0.000
300°	−0.866	0.500
315°	−0.707	0.707
330°	−0.500	0.866
360°	0.000	1.000

Lo que muestra la gráfica:

• sen α empieza en 0, vale 1 en 90°, 0 en 180°, −1 en 270° y otra vez 0 en 360°.
• cos α empieza en 1, vale 0 en 90°, −1 en 180°, 0 en 270° y otra vez 1 en 360°.
• Las dos ondas se quedan entre −1 y 1, porque P está en un círculo de radio 1.
• La gráfica del coseno es la del seno corrida 90° a la izquierda: cos α = sen(α + 90°).

La gráfica del seno es la altura de tu cabina, medida desde el centro de la rueda. Si la rueda tiene un radio de 10 m, todo es 10 veces más grande. Después de girar 30° estás 10 × sen 30° = 10 × 0.5 = 5 m arriba del centro.

Resolver sen α = 0.5

Busca todos los ángulos entre 0° y 360° con sen α = 0.5. La calculadora te da uno, con el seno inverso:

sen⁻¹(0.5) = 30°

Hay un segundo ángulo. La recta y = 0.5 corta el círculo dos veces. El segundo punto es el reflejo en el eje y:

α = 180° − 30° = 150°

sen α = 0.5 tiene dos soluciones

sen 30°

= 0.5

sen 150°

= 0.5

Ver los números

Ángulo α	sen α
30°	0.5
150°	0.5

Comprobación: sen 150° = sen 30° = 0.5. En la gráfica se ve lo mismo. La recta y = 0.5 corta la onda del seno en 30° y en 150°.

Con un valor negativo funciona igual. Resuelve sen α = −0.5. La calculadora da sen⁻¹(−0.5) = −30°. Ese ángulo es el mismo punto que 360° − 30° = 330°. Su reflejo en el eje y está en 180° + 30° = 210°. Entonces α = 210° o α = 330°.

Con el coseno reflejas en el eje x. Resuelve cos α = 0.5. La calculadora da cos⁻¹(0.5) = 60°. La segunda solución es 360° − 60° = 300°.

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