Parabolen: top, nulpunten en de abc-formule

Je schiet een bal hoog over het veld. Hij gaat omhoog, wordt langzamer, keert om en valt weer naar beneden. De baan die hij maakt heet een parabool. Dezelfde vorm zie je bij een straal water uit een tuinslang.

Stel dat de bal y meter hoog is als hij x meter ver is, met y = −0,05x² + x. Aan het eind van dit artikel reken je uit hoe hoog de bal komt en waar hij landt. Eerst kijk je hoe zo'n formule werkt.

Drie letters: a, b en c

Een tweedegraadsfunctie kun je altijd zo schrijven:

y = ax² + bx + c

De grafiek is een parabool. Schuif hieronder met a, b en c. De grafiek begint bij y = x² − 6x + 1.

Schuif met a, b en c

a = 1b = −6c = 1

y = x² − 6x + 1

• Grafiek
• Symmetrieas
• Top
• Nulpunten
• Snijpunt met de y-as

Vorm

dalparabool, opent naar boven

Symmetrieas

x = −b ÷ 2a = 3

Top

(3; −8)

Snijpunt met de y-as

(0; 1)

Discriminant

D = b² − 4ac = 32

Nulpunten (2)

x ≈ 0,17 en x ≈ 5,83

Toon de getallen

x	y
−1	8
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1
7	8

Dit doet elke letter:

• a bepaalt de vorm. Is a positief, dan krijg je een dalparabool. Die opent naar boven en heeft een laagste punt. Is a negatief, dan krijg je een bergparabool met een hoogste punt. Hoe verder a van 0 af ligt, hoe smaller de parabool.
• Bij a = 0 valt de x² weg. Dan houd je y = bx + c over: een rechte lijn.
• c schuift de grafiek omhoog of omlaag. Vul x = 0 in en alleen c blijft over. De grafiek snijdt de y-as dus altijd in (0; c).
• b is de lastigste. Verander je alleen b, dan schuift de top schuin weg. De top loopt dan zelf over een parabool: y = −ax² + c. Dat is dezelfde vorm, maar ondersteboven.

De top vinden

Elke parabool is symmetrisch. De linkerkant is het spiegelbeeld van de rechterkant. De symmetrieas is de verticale lijn door de top.

Even hoog, even ver

• y = x² − 6x + 1
• Symmetrieas x = 3
• Punten op gelijke hoogte
• Top

Toon de getallen

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Kijk naar (0; 1) en (6; 1). Ze liggen even hoog, dus de as ligt precies in het midden: bij x = 3. Je hoeft geen punten te zoeken. De as vind je ook met een formule:

x = −b ÷ 2a

Neem y = x² − 6x + 1. Hier is a = 1, b = −6 en c = 1.

x = −(−6) ÷ (2 × 1) = 6 ÷ 2 = 3
y = 3² − 6 × 3 + 1 = 9 − 18 + 1 = −8

De top is (3; −8). Omdat a positief is, is dat het laagste punt.

Tweede manier: kwadraat afsplitsen

Je kunt de top ook vinden door de formule om te schrijven. Het stuk x² − 6x is het begin van (x − 3)²:

(x − 3)² = x² − 6x + 9

Daar zit 9 in die er niet hoort. Die haal je er weer af:

x² − 6x + 1 = (x − 3)² − 9 + 1 = (x − 3)² − 8

Een kwadraat is nooit negatief. (x − 3)² is dus het kleinst bij x = 3, en dan is het 0. Dan is y = −8. Weer de top (3; −8).

De topvorm: sleep de top

De vorm y = a(x − p)² + q heet de topvorm. De top lees je er direct uit: (p; q). Sleep de stip hieronder, of tik ergens in het vlak.

Sleep de top

y = (x − 3)² − 8

• y = a(x − p)² + q
• y = ax², niet verschoven
• Top

a = 1

Top

(3; −8)

Uiterste waarde

minimum −8

Bereik

y ≥ −8

Uitgewerkt

y = x² − 6x + 1

Toon de getallen

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Let op het teken binnen de haakjes. Bij (x − 3)² is p = 3. Bij (x + 2)² is p = −2, want x + 2 = x − (−2).

Uit de top haal je ook de uiterste waarde en het bereik:

• Een dalparabool (a positief) heeft een minimum q. Alle y-waarden zijn q of meer, dus het bereik is y ≥ q.
• Een bergparabool (a negatief) heeft een maximum q. Het bereik is y ≤ q.

Voor y = (x − 3)² − 8 is het minimum −8 en het bereik y ≥ −8.

De nulpunten

De nulpunten zijn de x-waarden waarbij y = 0. Daar snijdt de grafiek de x-as. Je lost dus een vergelijking op. Neem x² − 4x − 21 = 0.

Manier 1: ontbinden

Zoek twee getallen die vermenigvuldigd −21 geven en opgeteld −4. Dat zijn 3 en −7, want 3 × −7 = −21 en 3 + −7 = −4.

x² − 4x − 21 = 0
(x + 3)(x − 7) = 0
x = −3 of x = 7

Een product is 0 als één van de factoren 0 is. Daarom mag je elk paar haakjes los op 0 zetten. Controle: (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0.

De grafiek laat hetzelfde zien. Hij snijdt de x-as bij −3 en bij 7. De top ligt precies in het midden, bij x = 2.

Waar de grafiek de x-as snijdt

• y = x² − 4x − 21
• Symmetrieas x = 2
• Nulpunten
• Top

Toon de getallen

x	y
−4	11
−3	0
−2	−9
−1	−16
0	−21
1	−24
2	−25
3	−24
4	−21
5	−16
6	−9
7	0
8	11

Manier 2: de abc-formule

Ontbinden lukt niet altijd. De abc-formule werkt wel altijd. Eerst reken je de discriminant uit:

D = b² − 4ac

Daarna vind je de nulpunten met:

x = −b + √D2a of x = −b − √D2a

Voor x² − 4x − 21 = 0 is a = 1, b = −4 en c = −21:

D = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = (4 + 10) ÷ 2 = 7 of x = (4 − 10) ÷ 2 = −3

Dezelfde antwoorden. Nu een vergelijking die je niet mooi kunt ontbinden: x² − 6x + 1 = 0.

D = (−6)² − 4 × 1 × 1 = 36 − 4 = 32
x = (6 + √32) ÷ 2 ≈ 5,83 of x = (6 − √32) ÷ 2 ≈ 0,17

Wil je het exact: √32 = √(16 × 2) = 4√2. Dan is x = 3 + 2√2 of x = 3 − 2√2.

Wat de discriminant je vertelt

Je hoeft de nulpunten niet uit te rekenen om te weten hoeveel het er zijn. Kijk alleen naar D:

• D > 0: twee nulpunten. De parabool snijdt de x-as twee keer.
• D = 0: één nulpunt. De top ligt precies op de x-as.
• D < 0: geen nulpunten. Uit een negatief getal kun je geen wortel trekken.

Hieronder staat drie keer y = x² − 6x + c. Alleen c verschilt. Hoe groter c, hoe hoger de parabool en hoe kleiner D.

Twee, één of geen nulpunten

y = x² − 6x + c

• Grafiek
• Symmetrieas
• Top
• Nulpunten

c = 5

D = 16
2 nulpunten

c = 9

D = 0
1 nulpunt

c = 13

D = −16
geen nulpunten

Toon de getallen

c	D	Aantal nulpunten
5	16	2
9	0	1
13	−16	0

• c = 5: D = 36 − 20 = 16. Ontbinden geeft x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), dus x = 1 of x = 5.
• c = 9: D = 36 − 36 = 0. Hier is x² − 6x + 9 = (x − 3)², met als enige nulpunt x = 3.
• c = 13: D = 36 − 52 = −16. De top is (3; 4), want y = 9 − 18 + 13 = 4. Een dalparabool met zijn laagste punt op hoogte 4 komt nooit bij de x-as.

Probeer het in de eerste grafiek: zet a = 1 en b = −6, en schuif c van 5 naar 9 en dan naar 10. De twee nulpunten schuiven naar elkaar toe, worden één en verdwijnen.

Terug naar de bal

De hoogte van de bal was y = −0,05x² + x. Hier is a = −0,05, b = 1 en c = 0. Omdat a negatief is, is het een bergparabool.

De top:

x = −1 ÷ (2 × −0,05) = −1 ÷ −0,1 = 10
y = −0,05 × 10² + 10 = −5 + 10 = 5

De bal komt 5 meter hoog, als hij 10 meter ver is.

Waar de bal landt, is de hoogte 0. Haal x buiten haakjes:

−0,05x² + x = 0
x(−0,05x + 1) = 0
x = 0 of x = 20

Bij x = 0 wordt de bal geschoten. Bij x = 20 komt hij weer op de grond. De top ligt bij 10, precies halverwege. Dat is de symmetrie van de parabool.

Schuif de bal over zijn baan. De tweede bal staat bij 20 − x en is altijd even hoog.

De baan van de bal

y = −0,05x² + x

• Baan
• Bal
• Tweede bal bij 20 − x
• Top

Afstand: x = 4 m

Hoogte

y = 3,2 m

De bal

gaat omhoog

Even hoog bij

x = 16 m

Toon de getallen

x (m)	y (m)
0	0
2	1,8
4	3,2
6	4,2
8	4,8
10	5
12	4,8
14	4,2
16	3,2
18	1,8
20	0

Probeer het zelf