Parábolas: vértice, raíces y la fórmula general

Pateas una pelota bien alto sobre la cancha. Sube, va más lento, da la vuelta y vuelve a caer. El camino que hace se llama parábola. Ves la misma forma en el chorro de agua de una manguera.

Supón que, a x metros de distancia, la altura de la pelota en metros es y = −0.05x² + x. Al final de este artículo vas a calcular qué tan alto llega la pelota y dónde cae. Primero mira cómo funciona una fórmula así.

Tres letras: a, b y c

Una función cuadrática siempre se puede escribir así:

y = ax² + bx + c

Su gráfica es una parábola. Mueve a, b y c aquí abajo. La gráfica empieza como y = x² − 6x + 1.

Mueve a, b y c

a = 1b = −6c = 1

y = x² − 6x + 1

• Gráfica
• Eje de simetría
• Vértice
• Raíces
• Corte con el eje y

Forma

abre hacia arriba

Eje de simetría

x = −b ÷ 2a = 3

Vértice

(3, −8)

Corte con el eje y

(0, 1)

Discriminante

D = b² − 4ac = 32

Raíces (2)

x ≈ 0.17 y x ≈ 5.83

Ver los números

x	y
−1	8
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1
7	8

Esto hace cada letra:

• a decide la forma. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba y tiene un punto más bajo. Si a es negativo, abre hacia abajo y tiene un punto más alto. Cuanto más lejos de 0 está a, más angosta es la parábola.
• Con a = 0 desaparece el x². Te queda y = bx + c: una recta.
• c sube o baja la gráfica. Pon x = 0 y solo queda c. Por eso la gráfica siempre corta el eje y en (0, c).
• b es la más difícil. Si cambias solo b, el vértice se mueve hacia un lado y cambia de altura a la vez. El vértice mismo recorre una parábola: y = −ax² + c. Es la misma forma, pero al revés.

Encontrar el vértice

Toda parábola es simétrica. El lado izquierdo es el reflejo del lado derecho. El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice.

Misma altura, misma distancia

• y = x² − 6x + 1
• Eje de simetría x = 3
• Puntos a la misma altura
• Vértice

Ver los números

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Mira (0, 1) y (6, 1). Están a la misma altura, así que el eje queda justo en el medio: en x = 3. No tienes que buscar puntos. El eje también sale de una fórmula:

x = −b ÷ 2a

Toma y = x² − 6x + 1. Aquí a = 1, b = −6 y c = 1.

x = −(−6) ÷ (2 × 1) = 6 ÷ 2 = 3
y = 3² − 6 × 3 + 1 = 9 − 18 + 1 = −8

El vértice es (3, −8). Como a es positivo, es el punto más bajo.

Otra forma: completar el cuadrado

También puedes encontrar el vértice reescribiendo la fórmula. La parte x² − 6x es el comienzo de (x − 3)²:

(x − 3)² = x² − 6x + 9

Ahí hay un 9 que sobra. Lo vuelves a quitar:

x² − 6x + 1 = (x − 3)² − 9 + 1 = (x − 3)² − 8

Un cuadrado nunca es negativo. Entonces (x − 3)² es más pequeño en x = 3, donde vale 0. Ahí y = −8. Otra vez el vértice (3, −8).

La forma de vértice: arrastra el vértice

La forma y = a(x − p)² + q se llama forma de vértice. También se llama forma canónica. El vértice se lee directo: (p, q). Arrastra el punto de abajo, o toca cualquier lugar de la cuadrícula.

Arrastra el vértice

y = (x − 3)² − 8

• y = a(x − p)² + q
• y = ax², sin mover
• Vértice

a = 1

Vértice

(3, −8)

Valor extremo

mínimo −8

Rango

y ≥ −8

Forma general

y = x² − 6x + 1

Ver los números

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Fíjate en el signo dentro del paréntesis. En (x − 3)², p = 3. En (x + 2)², p = −2, porque x + 2 = x − (−2).

El vértice también te da el mínimo o máximo y el rango:

• Una parábola que abre hacia arriba (a positivo) tiene un mínimo q. Todos los valores de y son q o más, así que el rango es y ≥ q.
• Una parábola que abre hacia abajo (a negativo) tiene un máximo q. El rango es y ≤ q.

Para y = (x − 3)² − 8, el mínimo es −8 y el rango es y ≥ −8.

Las raíces

Las raíces son los valores de x donde y = 0. Ahí la gráfica corta el eje x. O sea, resuelves una ecuación. Toma x² − 4x − 21 = 0.

Forma 1: factorizar

Busca dos números que multiplicados den −21 y sumados den −4. Son 3 y −7, porque 3 × −7 = −21 y 3 + −7 = −4.

x² − 4x − 21 = 0
(x + 3)(x − 7) = 0
x = −3 o x = 7

Un producto es 0 cuando uno de sus factores es 0. Por eso puedes igualar cada paréntesis a 0 por separado. Comprueba: (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0.

La gráfica muestra lo mismo. Corta el eje x en −3 y en 7. El vértice queda justo en el medio, en x = 2.

Donde la gráfica corta el eje x

• y = x² − 4x − 21
• Eje de simetría x = 2
• Raíces
• Vértice

Ver los números

x	y
−4	11
−3	0
−2	−9
−1	−16
0	−21
1	−24
2	−25
3	−24
4	−21
5	−16
6	−9
7	0
8	11

Forma 2: la fórmula general

Factorizar no siempre funciona. La fórmula general funciona siempre. Primero calcula el discriminante:

D = b² − 4ac

Después, las raíces son:

x = −b + √D2a o x = −b − √D2a

Para x² − 4x − 21 = 0, a = 1, b = −4 y c = −21:

D = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = (4 + 10) ÷ 2 = 7 o x = (4 − 10) ÷ 2 = −3

Las mismas respuestas. Ahora una ecuación que no se factoriza fácil: x² − 6x + 1 = 0.

D = (−6)² − 4 × 1 × 1 = 36 − 4 = 32
x = (6 + √32) ÷ 2 ≈ 5.83 o x = (6 − √32) ÷ 2 ≈ 0.17

Si lo quieres exacto: √32 = √(16 × 2) = 4√2. Entonces x = 3 + 2√2 o x = 3 − 2√2.

Lo que te dice el discriminante

No necesitas calcular las raíces para saber cuántas hay. Solo mira D:

• D > 0: dos raíces. La parábola corta el eje x dos veces.
• D = 0: una raíz. El vértice está justo sobre el eje x.
• D < 0: ninguna raíz. Un número negativo no tiene raíz cuadrada real.

Abajo ves tres veces y = x² − 6x + c. Solo cambia c. Cuanto más grande es c, más alta está la parábola y más chico es D.

Dos raíces, una o ninguna

y = x² − 6x + c

• Gráfica
• Eje de simetría
• Vértice
• Raíces

c = 5

D = 16
2 raíces

c = 9

D = 0
1 raíz

c = 13

D = −16
ninguna raíz

Ver los números

c	D	Número de raíces
5	16	2
9	0	1
13	−16	0

• c = 5: D = 36 − 20 = 16. Al factorizar, x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), así que x = 1 o x = 5.
• c = 9: D = 36 − 36 = 0. Aquí x² − 6x + 9 = (x − 3)², y la única raíz es x = 3.
• c = 13: D = 36 − 52 = −16. El vértice es (3, 4), porque y = 9 − 18 + 13 = 4. Una parábola que abre hacia arriba con su punto más bajo a altura 4 nunca llega al eje x.

Pruébalo en la primera gráfica: pon a = 1 y b = −6, y mueve c de 5 a 9 y luego a 10. Las dos raíces se acercan, se vuelven una y desaparecen.

De vuelta a la pelota

La altura de la pelota era y = −0.05x² + x. Aquí a = −0.05, b = 1 y c = 0. Como a es negativo, la parábola abre hacia abajo.

El vértice:

x = −1 ÷ (2 × −0.05) = −1 ÷ −0.1 = 10
y = −0.05 × 10² + 10 = −5 + 10 = 5

La pelota sube hasta 5 metros, cuando va a 10 metros de distancia.

Donde cae la pelota, su altura es 0. Saca x como factor común:

−0.05x² + x = 0
x(−0.05x + 1) = 0
x = 0 o x = 20

En x = 0 pateas la pelota. En x = 20 vuelve a tocar el suelo. El vértice está en 10, justo a la mitad. Esa es la simetría de la parábola.

Mueve la pelota por su camino. La segunda pelota está en 20 − x y siempre está a la misma altura.

El camino de la pelota

y = −0.05x² + x

• Camino
• Pelota
• Segunda pelota en 20 − x
• Vértice

Distancia: x = 4 m

Altura

y = 3.2 m

La pelota

sube

Misma altura en

x = 16 m

Ver los números

x (m)	y (m)
0	0
2	1.8
4	3.2
6	4.2
8	4.8
10	5
12	4.8
14	4.2
16	3.2
18	1.8
20	0

Inténtalo tú