Parábolas: vértice, raízes e a fórmula de Bhaskara

Você chuta uma bola bem alto pelo campo. Ela sobe, fica mais lenta, faz a curva e cai de novo. O caminho que ela faz se chama parábola. Você vê a mesma forma num jato de água de mangueira.

Suponha que, a x metros de distância, a altura da bola em metros seja y = −0,05x² + x. No fim deste texto você vai calcular até que altura a bola chega e onde ela cai. Primeiro, veja como uma fórmula assim funciona.

Três letras: a, b e c

Uma função do 2º grau sempre pode ser escrita assim:

y = ax² + bx + c

O gráfico é uma parábola. Mexa em a, b e c aqui embaixo. O gráfico começa como y = x² − 6x + 1.

Mexa em a, b e c

a = 1b = −6c = 1

y = x² − 6x + 1

• Gráfico
• Eixo de simetria
• Vértice
• Raízes
• Corte no eixo y

Concavidade

voltada para cima

Eixo de simetria

x = −b ÷ 2a = 3

Vértice

(3; −8)

Corte no eixo y

(0; 1)

Discriminante

Δ = b² − 4ac = 32

Raízes (2)

x ≈ 0,17 e x ≈ 5,83

Ver os números

x	y
−1	8
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1
7	8

O que cada letra faz:

• a decide a forma. Se a é positivo, a concavidade é voltada para cima e a parábola tem um ponto mais baixo. Se a é negativo, a concavidade é voltada para baixo e ela tem um ponto mais alto. Quanto mais longe de 0 estiver a, mais fechada fica a parábola.
• Com a = 0 o x² some. Sobra y = bx + c: uma reta.
• c sobe ou desce o gráfico. Coloque x = 0 e só sobra c. Então o gráfico sempre corta o eixo y em (0; c).
• b é a mais difícil. Mude só b e o vértice anda para o lado e muda de altura ao mesmo tempo. O próprio vértice percorre uma parábola: y = −ax² + c. É a mesma forma, de cabeça para baixo.

Encontrando o vértice

Toda parábola é simétrica. O lado esquerdo é o reflexo do lado direito. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice.

Mesma altura, mesma distância

• y = x² − 6x + 1
• Eixo de simetria x = 3
• Pontos na mesma altura
• Vértice

Ver os números

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Olhe para (0; 1) e (6; 1). Eles estão na mesma altura, então o eixo fica bem no meio: em x = 3. Você não precisa procurar pontos. O eixo também sai de uma fórmula:

x = −b ÷ 2a

Pegue y = x² − 6x + 1. Aqui a = 1, b = −6 e c = 1.

x = −(−6) ÷ (2 × 1) = 6 ÷ 2 = 3
y = 3² − 6 × 3 + 1 = 9 − 18 + 1 = −8

O vértice é (3; −8). Como a é positivo, é o ponto mais baixo.

Outro jeito: completar quadrado

Você também pode achar o vértice reescrevendo a fórmula. A parte x² − 6x é o começo de (x − 3)²:

(x − 3)² = x² − 6x + 9

Aí tem um 9 sobrando. Tire de novo:

x² − 6x + 1 = (x − 3)² − 9 + 1 = (x − 3)² − 8

Um quadrado nunca é negativo. Então (x − 3)² é menor em x = 3, onde vale 0. Aí y = −8. De novo o vértice (3; −8).

A forma canônica: arraste o vértice

A forma y = a(x − p)² + q se chama forma canônica. O vértice você lê direto: (p; q). Arraste o ponto abaixo, ou toque em qualquer lugar da malha.

Arraste o vértice

y = (x − 3)² − 8

• y = a(x − p)² + q
• y = ax², sem mover
• Vértice

a = 1

Vértice

(3; −8)

Valor extremo

mínimo −8

Imagem

y ≥ −8

Forma geral

y = x² − 6x + 1

Ver os números

x	y
0	1
1	−4
2	−7
3	−8
4	−7
5	−4
6	1

Atenção ao sinal dentro dos parênteses. Em (x − 3)², p = 3. Em (x + 2)², p = −2, porque x + 2 = x − (−2).

O vértice também dá o valor mínimo ou máximo e a imagem:

• Uma parábola com concavidade para cima (a positivo) tem valor mínimo q. Todo valor de y é q ou mais, então a imagem é y ≥ q.
• Uma parábola com concavidade para baixo (a negativo) tem valor máximo q. A imagem é y ≤ q.

Para y = (x − 3)² − 8, o valor mínimo é −8 e a imagem é y ≥ −8.

As raízes

As raízes são os valores de x em que y = 0. É onde o gráfico corta o eixo x. Ou seja, você resolve uma equação. Pegue x² − 4x − 21 = 0.

Jeito 1: fatorar

Procure dois números que multiplicados dão −21 e somados dão −4. São 3 e −7, porque 3 × −7 = −21 e 3 + −7 = −4.

x² − 4x − 21 = 0
(x + 3)(x − 7) = 0
x = −3 ou x = 7

Um produto é 0 quando um dos fatores é 0. Por isso você pode igualar cada parêntese a 0 separadamente. Confira: (−3)² − 4 × (−3) − 21 = 9 + 12 − 21 = 0.

O gráfico mostra a mesma coisa. Ele corta o eixo x em −3 e em 7. O vértice fica bem no meio, em x = 2.

Onde o gráfico corta o eixo x

• y = x² − 4x − 21
• Eixo de simetria x = 2
• Raízes
• Vértice

Ver os números

x	y
−4	11
−3	0
−2	−9
−1	−16
0	−21
1	−24
2	−25
3	−24
4	−21
5	−16
6	−9
7	0
8	11

Jeito 2: a fórmula de Bhaskara

Fatorar nem sempre dá certo. A fórmula de Bhaskara funciona sempre. Primeiro calcule o discriminante, o delta:

Δ = b² − 4ac

Depois, as raízes são:

x = −b + √Δ2a ou x = −b − √Δ2a

Para x² − 4x − 21 = 0, a = 1, b = −4 e c = −21:

Δ = (−4)² − 4 × 1 × (−21) = 16 + 84 = 100
x = (4 + 10) ÷ 2 = 7 ou x = (4 − 10) ÷ 2 = −3

As mesmas respostas. Agora uma equação que não se fatora com facilidade: x² − 6x + 1 = 0.

Δ = (−6)² − 4 × 1 × 1 = 36 − 4 = 32
x = (6 + √32) ÷ 2 ≈ 5,83 ou x = (6 − √32) ÷ 2 ≈ 0,17

Se quiser o valor exato: √32 = √(16 × 2) = 4√2. Então x = 3 + 2√2 ou x = 3 − 2√2.

O que o delta diz

Você não precisa calcular as raízes para saber quantas são. Basta olhar para Δ:

• Δ > 0: duas raízes. A parábola corta o eixo x duas vezes.
• Δ = 0: uma raiz só, porque as duas raízes são iguais. O vértice fica bem em cima do eixo x.
• Δ < 0: nenhuma raiz real. Um número negativo não tem raiz quadrada real.

Abaixo você vê y = x² − 6x + c três vezes. Só c muda. Quanto maior o c, mais alta a parábola e menor o Δ.

Duas raízes, uma ou nenhuma

y = x² − 6x + c

• Gráfico
• Eixo de simetria
• Vértice
• Raízes

c = 5

Δ = 16
2 raízes

c = 9

Δ = 0
1 raiz

c = 13

Δ = −16
nenhuma raiz

Ver os números

c	Δ	Número de raízes
5	16	2
9	0	1
13	−16	0

• c = 5: Δ = 36 − 20 = 16. Fatorando, x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), então x = 1 ou x = 5.
• c = 9: Δ = 36 − 36 = 0. Aqui x² − 6x + 9 = (x − 3)², e a única raiz é x = 3.
• c = 13: Δ = 36 − 52 = −16. O vértice é (3; 4), porque y = 9 − 18 + 13 = 4. Uma parábola com concavidade para cima e ponto mais baixo na altura 4 nunca chega ao eixo x.

Teste no primeiro gráfico: coloque a = 1 e b = −6, e mova c de 5 para 9 e depois para 10. As duas raízes se aproximam, viram uma só e somem.

De volta à bola

A altura da bola era y = −0,05x² + x. Aqui a = −0,05, b = 1 e c = 0. Como a é negativo, a concavidade é voltada para baixo.

O vértice:

x = −1 ÷ (2 × −0,05) = −1 ÷ −0,1 = 10
y = −0,05 × 10² + 10 = −5 + 10 = 5

A bola chega a 5 metros de altura, quando está a 10 metros de distância.

Onde a bola cai, a altura é 0. Coloque x em evidência:

−0,05x² + x = 0
x(−0,05x + 1) = 0
x = 0 ou x = 20

Em x = 0 você chuta a bola. Em x = 20 ela toca o chão de novo. O vértice está em 10, bem no meio. Essa é a simetria da parábola.

Mova a bola pelo caminho. A segunda bola fica em 20 − x e está sempre na mesma altura.

O caminho da bola

y = −0,05x² + x

• Caminho
• Bola
• Segunda bola em 20 − x
• Vértice

Distância: x = 4 m

Altura

y = 3,2 m

A bola

sobe

Mesma altura em

x = 16 m

Ver os números

x (m)	y (m)
0	0
2	1,8
4	3,2
6	4,2
8	4,8
10	5
12	4,8
14	4,2
16	3,2
18	1,8
20	0

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