Lijnen en cirkels: de vergelijking van een cirkel

Een geit staat vast aan een paal met een touw van 5 meter. Ze kan overal grazen waar het touw bij komt. De rand van dat stuk gras is een cirkel.

Elk punt op die rand ligt precies 5 meter van de paal. Dat is ook de wiskundige definitie. Een cirkel bestaat uit alle punten die even ver van één vast punt liggen. Dat vaste punt is het middelpunt M. De afstand heet de straal r.

In dit artikel maak je van die definitie een vergelijking. Daarna lees je middelpunt en straal uit een vergelijking af. Aan het eind laat je een lijn een cirkel snijden.

Van Pythagoras naar de vergelijking

Neem een cirkel met middelpunt M(1; 1) en straal 5. Kies een punt P(x; y) op de cirkel. Loop vanuit M horizontaal tot recht onder P. Loop dan verticaal omhoog naar P. Zo krijg je een rechthoekige driehoek.

• De horizontale zijde is x − 1.
• De verticale zijde is y − 1.
• De schuine zijde is de straal: 5.

Pythagoras geeft dan:

(x − 1)² + (y − 1)² = 5² = 25

Neem P(4; 5). Dan is x − 1 = 3 en y − 1 = 4. Er komt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 uit. P ligt dus op de cirkel.

Sleep P over de cirkel

• Cirkel (x − 1)² + (y − 1)² = 25
• Straal MP = 5
• Rechthoekszijden

Punt P

(4; 5)

Horizontale zijde

x − 1 = 3

Verticale zijde

y − 1 = 4

Pythagoras

3² + 4² = 9 + 16 = 25

Toon de getallen

Punt P	x − 1	y − 1	(x − 1)² + (y − 1)²
(−3; −2)	−4	−3	16 + 9 = 25
(−2; −3)	−3	−4	9 + 16 = 25
(1; −4)	0	−5	0 + 25 = 25
(4; −3)	3	−4	9 + 16 = 25
(5; −2)	4	−3	16 + 9 = 25
(6; 1)	5	0	25 + 0 = 25
(5; 4)	4	3	16 + 9 = 25
(4; 5)	3	4	9 + 16 = 25
(1; 6)	0	5	0 + 25 = 25
(−2; 5)	−3	4	9 + 16 = 25
(−3; 4)	−4	3	16 + 9 = 25
(−4; 1)	−5	0	25 + 0 = 25

Ligt P links van M, dan is x − 1 negatief. Het kwadraat is toch positief. De vergelijking werkt dus voor elk punt op de cirkel.

Dit geldt voor elke cirkel. Met middelpunt M(a; b) en straal r is de vergelijking van de cirkel:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Middelpunt en straal aflezen

Je kunt de vergelijking ook andersom lezen. Neem deze cirkel:

(x − 2)² + (y + 1)² = 13

Bij x staat − 2, dus a = 2. Bij y staat + 1. Schrijf dat als y − (−1), dan zie je b = −1. Het middelpunt is M(2; −1).

Rechts staat r² = 13. De straal is dus r = √13 ≈ 3,61.

Sleep het middelpunt, schuif met de straal

(x − 2)² + (y + 1)² = 16

• Cirkel
• Straal

r = 4

Middelpunt

M(2; −1)

Straal

r = 4, r² = 16

Zonder haakjes

x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0

Toon de getallen

Punt	(x − 2)² + (y + 1)²
(6; −1)	4² + 0² = 16
(2; 3)	0² + 4² = 16
(−2; −1)	(−4)² + 0² = 16
(2; −5)	0² + (−4)² = 16

Op, binnen of buiten de cirkel

De linkerkant van de vergelijking is het kwadraat van de afstand tot M. Vul een punt in en vergelijk de uitkomst met r².

• Is de uitkomst gelijk aan r², dan ligt het punt op de cirkel.
• Is de uitkomst kleiner dan r², dan ligt het punt binnen de cirkel.
• Is de uitkomst groter dan r², dan ligt het punt buiten de cirkel.

Neem weer (x − 2)² + (y + 1)² = 13.

Q(4; 2): (4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13, dus op de cirkel
Q(3; 0): (3 − 2)² + (0 + 1)² = 1 + 1 = 2, dus binnen de cirkel

Sleep Q hieronder door het vlak. Op deze cirkel liggen acht roosterpunten. Dat zijn punten met hele getallen als coördinaten. Zoek ze alle acht. Een tip: 13 = 4 + 9.

Op, binnen of buiten

• Cirkel (x − 2)² + (y + 1)² = 13
• Binnen de cirkel
• Punt Q

Punt Q

(4; 2)

Invullen

(4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13

Vergelijken

13 = 13: op de cirkel

Roosterpunten gevonden

1 van 8

Toon de getallen

Punt Q	(x − 2)² + (y + 1)²	Ligging
(4; 2)	13	op de cirkel
(3; 0)	2	binnen de cirkel
(6; 1)	20	buiten de cirkel
(0; −4)	13	op de cirkel
(−2; −1)	16	buiten de cirkel

Kwadraat afsplitsen

Soms staat de vergelijking zonder haakjes:

x² + y² − 4x + 2y − 8 = 0

Hier lees je M en r niet direct af. Je zet de vergelijking eerst terug in de vorm met haakjes. Dat heet kwadraat afsplitsen.

Het idee zie je aan een vierkant met zijde x. De oppervlakte is x². Haal rechts een strook van 2 breed weg. Haal boven ook een strook van 2 weg. Samen is dat 4x. Het hoekje van 2 bij 2 heb je nu twee keer weggehaald. Leg het één keer terug. Er blijft een vierkant met zijde x − 2 over.

Kwadraat afsplitsen met oppervlakte

• Vierkant (x − 2)²
• Stroken van 2 breed, samen 4x
• Hoekje 2 bij 2, twee keer weggehaald

Zijde: x = 6

x² − 4x + 4

36 − 24 + 4 = 16

(x − 2)²

4² = 16

Dus

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Toon de getallen

x	x²	4x	x² − 4x + 4	(x − 2)²
4	16	16	4	4
5	25	20	9	9
6	36	24	16	16
7	49	28	25	25
8	64	32	36	36
9	81	36	49	49
10	100	40	64	64

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Dus x² − 4x = (x − 2)² − 4. De regel: neem de helft van het getal bij x. Dat komt in de haakjes. Trek daarna het kwadraat ervan af. Voor y werkt het net zo. De helft van 2 is 1.

x² − 4x = (x − 2)² − 4
y² + 2y = (y + 1)² − 1

Zet dit in de vergelijking:

(x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 − 8 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² − 13 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² = 13

Het middelpunt is M(2; −1) en de straal is √13. Dat is dezelfde cirkel als hierboven. Komt er rechts een negatief getal uit, dan is er geen cirkel.

Een lijn en een cirkel

Een lijn en een cirkel hebben twee, één of geen punten gemeen. Neem de cirkel x² + y² = 25. Het middelpunt is de oorsprong O(0; 0) en de straal is 5. Schuif hieronder de lijn y = x + b omhoog en omlaag.

Schuif de lijn y = x + b

b = 1

x² + y² = 25 en y = x + 1

• Cirkel x² + y² = 25
• Lijn y = x + b
• Gemeenschappelijke punten

Ingevuld

2x² + 2x − 24 = 0

Discriminant

D = 2² − 4 × 2 × (−24) = 4 + 192 = 196

Aantal punten

twee snijpunten

Gemeenschappelijke punten

(−4; −3) en (3; 4)

Toon de getallen

b	D	Aantal punten
−8	−56	0
−5√2 ≈ −7,07	0	1
−7	4	2
−6	56	2
−5	100	2
−4	136	2
−3	164	2
−2	184	2
−1	196	2
0	200	2
1	196	2
2	184	2
3	164	2
4	136	2
5	100	2
6	56	2
7	4	2
5√2 ≈ 7,07	0	1
8	−56	0

Neem de lijn y = x + 1. Vervang y in de vergelijking van de cirkel door x + 1:

x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
(x + 4)(x − 3) = 0
x = −4 of x = 3

Bij x = 3 hoort y = 3 + 1 = 4. Bij x = −4 hoort y = −4 + 1 = −3. De snijpunten zijn (3; 4) en (−4; −3).

Invullen geeft altijd een tweedegraadsvergelijking. De discriminant D zegt hoeveel oplossingen die heeft.

• Is D positief, dan zijn er twee snijpunten.
• Is D nul, dan is er één punt. De lijn raakt de cirkel en heet een raaklijn.
• Is D negatief, dan mist de lijn de cirkel.

Voor y = x + b geeft invullen 2x² + 2bx + b² − 25 = 0. Dan is D = 200 − 4b². D is nul als b² = 50, dus bij b = 5√2 ≈ 7,07 en bij b = −5√2.

De raaklijn staat loodrecht op de straal

Een raaklijn raakt de cirkel in één punt P. De straal naar P staat altijd loodrecht op de raaklijn. Sleep P hieronder over de cirkel.

Sleep het raakpunt P

• Cirkel x² + y² = 25
• Straal OP
• Raaklijn

Raakpunt P

(3; 4)

rc van OP

4/3

rc van de raaklijn

−3/4

Product

4/3 × (−3/4) = −1

Raaklijn

3x + 4y = 25

Toon de getallen

Raakpunt P	rc van OP	rc van de raaklijn	Raaklijn
(−4; −3)	3/4	−4/3	−4x − 3y = 25
(−3; −4)	4/3	−3/4	−3x − 4y = 25
(0; −5)	bestaat niet, de lijn is verticaal	0	y = −5
(3; −4)	−4/3	3/4	3x − 4y = 25
(4; −3)	−3/4	4/3	4x − 3y = 25
(5; 0)	0	bestaat niet, de lijn is verticaal	x = 5
(4; 3)	3/4	−4/3	4x + 3y = 25
(3; 4)	4/3	−3/4	3x + 4y = 25
(0; 5)	bestaat niet, de lijn is verticaal	0	y = 5
(−3; 4)	−4/3	3/4	−3x + 4y = 25
(−4; 3)	−3/4	4/3	−4x + 3y = 25
(−5; 0)	0	bestaat niet, de lijn is verticaal	x = −5

Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het product van hun richtingscoëfficiënten −1 is. Daarmee vind je de raaklijn in P(3; 4) aan x² + y² = 25.

rc van OP = 43
rc van de raaklijn = −34, want 43 × −34 = −1

De raaklijn is y = −34x + c. Vul P(3; 4) in om c te vinden:

4 = −34 × 3 + c = −94 + c
c = 4 + 94 = 254

Vermenigvuldig y = −34x + 254 met 4. Dan krijg je 4y = −3x + 25, oftewel 3x + 4y = 25.

Controleer het met de discriminant. Invullen in de cirkel geeft x² − 6x + 9 = 0. Dan is D = 36 − 36 = 0. Er is precies één gemeenschappelijk punt: (3; 4).

Bij P(5; 0) is de straal horizontaal. De raaklijn is dan verticaal: x = 5. Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.