Retas e circunferências: a equação da circunferência

Uma cabra está amarrada a um poste com uma corda de 5 metros. Ela pode pastar em qualquer lugar que a corda alcança. A borda desse pedaço de grama é uma circunferência.

Cada ponto dessa borda fica a exatamente 5 metros do poste. Essa também é a definição matemática. Uma circunferência é formada por todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo. Esse ponto fixo é o centro M. A distância se chama raio r.

Neste artigo você transforma essa definição em uma equação. Depois lê o centro e o raio em uma equação. No fim, faz uma reta cortar uma circunferência.

De Pitágoras à equação

Pegue uma circunferência com centro M(1; 1) e raio 5. Escolha um ponto P(x; y) na circunferência. Ande a partir de M na horizontal até ficar logo abaixo de P. Depois suba na vertical até P. Assim você forma um triângulo retângulo.

• O cateto horizontal mede x − 1.
• O cateto vertical mede y − 1.
• A hipotenusa é o raio: 5.

Pitágoras dá:

(x − 1)² + (y − 1)² = 5² = 25

Pegue P(4; 5). Então x − 1 = 3 e y − 1 = 4. Dá 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Portanto P está na circunferência.

Arraste P pela circunferência

• Circunferência (x − 1)² + (y − 1)² = 25
• Raio MP = 5
• Catetos

Ponto P

(4; 5)

Cateto horizontal

x − 1 = 3

Cateto vertical

y − 1 = 4

Pitágoras

3² + 4² = 9 + 16 = 25

Ver os números

Ponto P	x − 1	y − 1	(x − 1)² + (y − 1)²
(−3; −2)	−4	−3	16 + 9 = 25
(−2; −3)	−3	−4	9 + 16 = 25
(1; −4)	0	−5	0 + 25 = 25
(4; −3)	3	−4	9 + 16 = 25
(5; −2)	4	−3	16 + 9 = 25
(6; 1)	5	0	25 + 0 = 25
(5; 4)	4	3	16 + 9 = 25
(4; 5)	3	4	9 + 16 = 25
(1; 6)	0	5	0 + 25 = 25
(−2; 5)	−3	4	9 + 16 = 25
(−3; 4)	−4	3	16 + 9 = 25
(−4; 1)	−5	0	25 + 0 = 25

Se P está à esquerda de M, x − 1 é negativo. O quadrado continua positivo. Por isso a equação vale para todos os pontos da circunferência.

Isso vale para qualquer circunferência. Com centro M(a; b) e raio r, a equação da circunferência é:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Ler o centro e o raio

Você também pode ler a equação ao contrário. Pegue esta circunferência:

(x − 2)² + (y + 1)² = 13

Junto do x está − 2, então a = 2. Junto do y está + 1. Escreva isso como y − (−1) e você vê que b = −1. O centro é M(2; −1).

Do lado direito está r² = 13. Portanto o raio é r = √13 ≈ 3,61.

Arraste o centro, deslize o raio

(x − 2)² + (y + 1)² = 16

• Circunferência
• Raio

r = 4

Centro

M(2; −1)

Raio

r = 4, r² = 16

Sem parênteses

x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0

Ver os números

Ponto	(x − 2)² + (y + 1)²
(6; −1)	4² + 0² = 16
(2; 3)	0² + 4² = 16
(−2; −1)	(−4)² + 0² = 16
(2; −5)	0² + (−4)² = 16

Na, dentro ou fora da circunferência

O lado esquerdo da equação é o quadrado da distância até M. Substitua um ponto e compare o resultado com r².

• Se o resultado for igual a r², o ponto está na circunferência.
• Se o resultado for menor que r², o ponto está dentro da circunferência.
• Se o resultado for maior que r², o ponto está fora da circunferência.

Pegue de novo (x − 2)² + (y + 1)² = 13.

Q(4; 2): (4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13, então está na circunferência
Q(3; 0): (3 − 2)² + (0 + 1)² = 1 + 1 = 2, então está dentro

Arraste Q pela malha abaixo. Nesta circunferência há oito pontos da malha. São pontos com coordenadas inteiras. Encontre os oito. Uma dica: 13 = 4 + 9.

Na, dentro ou fora

• Circunferência (x − 2)² + (y + 1)² = 13
• Parte de dentro
• Ponto Q

Ponto Q

(4; 2)

Substituir

(4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13

Comparar

13 = 13: na circunferência

Pontos encontrados

1 de 8

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Ponto Q	(x − 2)² + (y + 1)²	Posição
(4; 2)	13	na circunferência
(3; 0)	2	dentro da circunferência
(6; 1)	20	fora da circunferência
(0; −4)	13	na circunferência
(−2; −1)	16	fora da circunferência

Completar quadrado

Às vezes a equação vem sem parênteses:

x² + y² − 4x + 2y − 8 = 0

Aqui você não lê M e r direto. Primeiro escreve a equação de novo com parênteses. Isso se chama completar quadrado.

A ideia aparece em um quadrado de lado x. A área é x². Tire uma faixa de 2 de largura do lado direito. Tire também uma faixa de 2 em cima. Juntas, somam 4x. O canto de 2 por 2 foi tirado duas vezes. Devolva esse canto uma vez. Sobra um quadrado de lado x − 2.

Completar quadrado com áreas

• Quadrado (x − 2)²
• Faixas de 2 de largura, 4x no total
• Canto de 2 por 2, tirado duas vezes

Lado: x = 6

x² − 4x + 4

36 − 24 + 4 = 16

(x − 2)²

4² = 16

Então

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Ver os números

x	x²	4x	x² − 4x + 4	(x − 2)²
4	16	16	4	4
5	25	20	9	9
6	36	24	16	16
7	49	28	25	25
8	64	32	36	36
9	81	36	49	49
10	100	40	64	64

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Então x² − 4x = (x − 2)² − 4. A regra: pegue a metade do número que acompanha o x. Esse número vai dentro dos parênteses. Depois subtraia o quadrado dele. Com o y é igual. A metade de 2 é 1.

x² − 4x = (x − 2)² − 4
y² + 2y = (y + 1)² − 1

Coloque isso na equação:

(x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 − 8 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² − 13 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² = 13

O centro é M(2; −1) e o raio é √13. É a mesma circunferência de antes. Se do lado direito sair um número negativo, não existe circunferência.

Uma reta e uma circunferência

Uma reta e uma circunferência têm dois pontos em comum, um ou nenhum. Pegue a circunferência x² + y² = 25. O centro é a origem O(0; 0) e o raio é 5. Deslize abaixo a reta y = x + b para cima e para baixo.

Deslize a reta y = x + b

b = 1

x² + y² = 25 e y = x + 1

• Circunferência x² + y² = 25
• Reta y = x + b
• Pontos em comum

Substituída

2x² + 2x − 24 = 0

Delta

Δ = 2² − 4 × 2 × (−24) = 4 + 192 = 196

Número de pontos

dois pontos de interseção

Pontos em comum

(−4; −3) e (3; 4)

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b	Δ	Número de pontos
−8	−56	0
−5√2 ≈ −7,07	0	1
−7	4	2
−6	56	2
−5	100	2
−4	136	2
−3	164	2
−2	184	2
−1	196	2
0	200	2
1	196	2
2	184	2
3	164	2
4	136	2
5	100	2
6	56	2
7	4	2
5√2 ≈ 7,07	0	1
8	−56	0

Pegue a reta y = x + 1. Troque o y da equação da circunferência por x + 1:

x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
(x + 4)(x − 3) = 0
x = −4 ou x = 3

Com x = 3, y = 3 + 1 = 4. Com x = −4, y = −4 + 1 = −3. Os pontos de interseção são (3; 4) e (−4; −3).

Substituir sempre dá uma equação do segundo grau. O delta Δ diz quantas soluções ela tem.

• Se Δ for positivo, há dois pontos de interseção.
• Se Δ for zero, há um só ponto. A reta toca a circunferência e se chama reta tangente.
• Se Δ for negativo, a reta não encontra a circunferência.

Para y = x + b, substituir dá 2x² + 2bx + b² − 25 = 0. Então Δ = 200 − 4b². Δ é zero quando b² = 50, ou seja, com b = 5√2 ≈ 7,07 e com b = −5√2.

A tangente é perpendicular ao raio

Uma reta tangente toca a circunferência em um só ponto P. O raio até P é sempre perpendicular à tangente. Arraste P pela circunferência.

Arraste o ponto de tangência P

• Circunferência x² + y² = 25
• Raio OP
• Reta tangente

Ponto de tangência P

(3; 4)

Coeficiente angular de OP

4/3

Coeficiente angular da tangente

−3/4

Produto

4/3 × (−3/4) = −1

Tangente

3x + 4y = 25

Ver os números

Ponto de tangência P	Coeficiente angular de OP	Coeficiente angular da tangente	Tangente
(−4; −3)	3/4	−4/3	−4x − 3y = 25
(−3; −4)	4/3	−3/4	−3x − 4y = 25
(0; −5)	não existe, a reta é vertical	0	y = −5
(3; −4)	−4/3	3/4	3x − 4y = 25
(4; −3)	−3/4	4/3	4x − 3y = 25
(5; 0)	0	não existe, a reta é vertical	x = 5
(4; 3)	3/4	−4/3	4x + 3y = 25
(3; 4)	4/3	−3/4	3x + 4y = 25
(0; 5)	não existe, a reta é vertical	0	y = 5
(−3; 4)	−4/3	3/4	−3x + 4y = 25
(−4; 3)	−3/4	4/3	−4x + 3y = 25
(−5; 0)	0	não existe, a reta é vertical	x = −5

Duas retas são perpendiculares quando o produto dos coeficientes angulares é −1. Com isso você encontra a tangente a x² + y² = 25 em P(3; 4).

coeficiente angular de OP = 43
coeficiente angular da tangente = −34, porque 43 × −34 = −1

A tangente é y = −34x + c. Substitua P(3; 4) para achar c:

4 = −34 × 3 + c = −94 + c
c = 4 + 94 = 254

Multiplique y = −34x + 254 por 4. Você obtém 4y = −3x + 25, ou seja, 3x + 4y = 25.

Confira com o delta. Substituindo na circunferência, dá x² − 6x + 9 = 0. Então Δ = 36 − 36 = 0. Há um só ponto em comum: (3; 4).

Em P(5; 0) o raio é horizontal. A tangente é então vertical: x = 5. Uma reta vertical não tem coeficiente angular.