Rectas y circunferencias: la ecuación de la circunferencia

Una cabra está atada a un poste con una cuerda de 5 metros. Puede pastar en cualquier lugar al que llega la cuerda. El borde de esa zona de pasto es una circunferencia.

Cada punto de ese borde está a 5 metros exactos del poste. Esa es también la definición matemática. Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro M. La distancia se llama radio r.

En este artículo conviertes esa definición en una ecuación. Después lees el centro y el radio en una ecuación. Al final haces que una recta corte una circunferencia.

De Pitágoras a la ecuación

Toma una circunferencia con centro M(1, 1) y radio 5. Elige un punto P(x, y) de la circunferencia. Camina desde M en horizontal hasta quedar justo debajo de P. Luego sube en vertical hasta P. Así obtienes un triángulo rectángulo.

• El cateto horizontal mide x − 1.
• El cateto vertical mide y − 1.
• La hipotenusa es el radio: 5.

Pitágoras da:

(x − 1)² + (y − 1)² = 5² = 25

Toma P(4, 5). Entonces x − 1 = 3 e y − 1 = 4. Sale 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Así que P está en la circunferencia.

Arrastra P por la circunferencia

• Circunferencia (x − 1)² + (y − 1)² = 25
• Radio MP = 5
• Catetos

Punto P

(4, 5)

Cateto horizontal

x − 1 = 3

Cateto vertical

y − 1 = 4

Pitágoras

3² + 4² = 9 + 16 = 25

Ver los números

Punto P	x − 1	y − 1	(x − 1)² + (y − 1)²
(−3, −2)	−4	−3	16 + 9 = 25
(−2, −3)	−3	−4	9 + 16 = 25
(1, −4)	0	−5	0 + 25 = 25
(4, −3)	3	−4	9 + 16 = 25
(5, −2)	4	−3	16 + 9 = 25
(6, 1)	5	0	25 + 0 = 25
(5, 4)	4	3	16 + 9 = 25
(4, 5)	3	4	9 + 16 = 25
(1, 6)	0	5	0 + 25 = 25
(−2, 5)	−3	4	9 + 16 = 25
(−3, 4)	−4	3	16 + 9 = 25
(−4, 1)	−5	0	25 + 0 = 25

Si P está a la izquierda de M, x − 1 es negativo. Su cuadrado sigue siendo positivo. Por eso la ecuación vale para todos los puntos de la circunferencia.

Esto vale para cualquier circunferencia. Con centro M(a, b) y radio r, la ecuación de la circunferencia es:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Leer el centro y el radio

También puedes leer la ecuación al revés. Toma esta circunferencia:

(x − 2)² + (y + 1)² = 13

Junto a la x hay − 2, así que a = 2. Junto a la y hay + 1. Escríbelo como y − (−1) y verás que b = −1. El centro es M(2, −1).

A la derecha está r² = 13. Por lo tanto, el radio es r = √13 ≈ 3.61.

Arrastra el centro, desliza el radio

(x − 2)² + (y + 1)² = 16

• Circunferencia
• Radio

r = 4

Centro

M(2, −1)

Radio

r = 4, r² = 16

Sin paréntesis

x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0

Ver los números

Punto	(x − 2)² + (y + 1)²
(6, −1)	4² + 0² = 16
(2, 3)	0² + 4² = 16
(−2, −1)	(−4)² + 0² = 16
(2, −5)	0² + (−4)² = 16

Sobre, dentro o fuera de la circunferencia

El lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado de la distancia a M. Sustituye un punto y compara el resultado con r².

• Si el resultado es igual a r², el punto está sobre la circunferencia.
• Si el resultado es menor que r², el punto está dentro de la circunferencia.
• Si el resultado es mayor que r², el punto está fuera de la circunferencia.

Toma otra vez (x − 2)² + (y + 1)² = 13.

Q(4, 2): (4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13, así que está sobre la circunferencia
Q(3, 0): (3 − 2)² + (0 + 1)² = 1 + 1 = 2, así que está dentro

Arrastra Q por la cuadrícula de abajo. Sobre esta circunferencia hay ocho puntos de la cuadrícula. Son puntos con coordenadas enteras. Encuentra los ocho. Una pista: 13 = 4 + 9.

Sobre, dentro o fuera

• Circunferencia (x − 2)² + (y + 1)² = 13
• Interior
• Punto Q

Punto Q

(4, 2)

Sustituir

(4 − 2)² + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13

Comparar

13 = 13: sobre la circunferencia

Puntos encontrados

1 de 8

Ver los números

Punto Q	(x − 2)² + (y + 1)²	Posición
(4, 2)	13	sobre la circunferencia
(3, 0)	2	dentro de la circunferencia
(6, 1)	20	fuera de la circunferencia
(0, −4)	13	sobre la circunferencia
(−2, −1)	16	fuera de la circunferencia

Completar el cuadrado

A veces la ecuación viene sin paréntesis:

x² + y² − 4x + 2y − 8 = 0

Aquí no puedes leer M ni r directamente. Primero vuelves a escribir la ecuación con paréntesis. Eso se llama completar el cuadrado.

La idea se ve en un cuadrado de lado x. Su área es x². Quita una franja de 2 de ancho a la derecha. Quita también una franja de 2 arriba. Juntas suman 4x. La esquina de 2 por 2 la has quitado dos veces. Devuélvela una vez. Queda un cuadrado de lado x − 2.

Completar el cuadrado con áreas

• Cuadrado (x − 2)²
• Franjas de 2 de ancho, 4x en total
• Esquina de 2 por 2, quitada dos veces

Lado: x = 6

x² − 4x + 4

36 − 24 + 4 = 16

(x − 2)²

4² = 16

Así que

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Ver los números

x	x²	4x	x² − 4x + 4	(x − 2)²
4	16	16	4	4
5	25	20	9	9
6	36	24	16	16
7	49	28	25	25
8	64	32	36	36
9	81	36	49	49
10	100	40	64	64

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Así que x² − 4x = (x − 2)² − 4. La regla: toma la mitad del número que acompaña a x. Ese número va dentro del paréntesis. Después resta su cuadrado. Con la y se hace igual. La mitad de 2 es 1.

x² − 4x = (x − 2)² − 4
y² + 2y = (y + 1)² − 1

Ponlo en la ecuación:

(x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 − 8 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² − 13 = 0
(x − 2)² + (y + 1)² = 13

El centro es M(2, −1) y el radio es √13. Es la misma circunferencia de antes. Si a la derecha sale un número negativo, no hay circunferencia.

Una recta y una circunferencia

Una recta y una circunferencia tienen dos puntos en común, uno o ninguno. Toma la circunferencia x² + y² = 25. Su centro es el origen O(0, 0) y su radio es 5. Desliza abajo la recta y = x + b hacia arriba y hacia abajo.

Desliza la recta y = x + b

b = 1

x² + y² = 25 y y = x + 1

• Circunferencia x² + y² = 25
• Recta y = x + b
• Puntos en común

Sustituida

2x² + 2x − 24 = 0

Discriminante

D = 2² − 4 × 2 × (−24) = 4 + 192 = 196

Número de puntos

dos puntos de corte

Puntos en común

(−4, −3) y (3, 4)

Ver los números

b	D	Número de puntos
−8	−56	0
−5√2 ≈ −7.07	0	1
−7	4	2
−6	56	2
−5	100	2
−4	136	2
−3	164	2
−2	184	2
−1	196	2
0	200	2
1	196	2
2	184	2
3	164	2
4	136	2
5	100	2
6	56	2
7	4	2
5√2 ≈ 7.07	0	1
8	−56	0

Toma la recta y = x + 1. Sustituye la y de la ecuación de la circunferencia por x + 1:

x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
(x + 4)(x − 3) = 0
x = −4 o x = 3

Con x = 3, y = 3 + 1 = 4. Con x = −4, y = −4 + 1 = −3. Los puntos de corte son (3, 4) y (−4, −3).

Al sustituir siempre sale una ecuación de segundo grado. El discriminante D dice cuántas soluciones tiene.

• Si D es positivo, hay dos puntos de corte.
• Si D es cero, hay un solo punto. La recta toca la circunferencia y se llama recta tangente.
• Si D es negativo, la recta no toca la circunferencia.

Para y = x + b, al sustituir sale 2x² + 2bx + b² − 25 = 0. Entonces D = 200 − 4b². D es cero cuando b² = 50, es decir, con b = 5√2 ≈ 7.07 y con b = −5√2.

La tangente es perpendicular al radio

Una recta tangente toca la circunferencia en un solo punto P. El radio hasta P siempre es perpendicular a la tangente. Arrastra P por la circunferencia.

Arrastra el punto de tangencia P

• Circunferencia x² + y² = 25
• Radio OP
• Recta tangente

Punto de tangencia P

(3, 4)

Pendiente de OP

4/3

Pendiente de la tangente

−3/4

Producto

4/3 × (−3/4) = −1

Tangente

3x + 4y = 25

Ver los números

Punto de tangencia P	Pendiente de OP	Pendiente de la tangente	Tangente
(−4, −3)	3/4	−4/3	−4x − 3y = 25
(−3, −4)	4/3	−3/4	−3x − 4y = 25
(0, −5)	no existe, la recta es vertical	0	y = −5
(3, −4)	−4/3	3/4	3x − 4y = 25
(4, −3)	−3/4	4/3	4x − 3y = 25
(5, 0)	0	no existe, la recta es vertical	x = 5
(4, 3)	3/4	−4/3	4x + 3y = 25
(3, 4)	4/3	−3/4	3x + 4y = 25
(0, 5)	no existe, la recta es vertical	0	y = 5
(−3, 4)	−4/3	3/4	−3x + 4y = 25
(−4, 3)	−3/4	4/3	−4x + 3y = 25
(−5, 0)	0	no existe, la recta es vertical	x = −5

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1. Con eso encuentras la tangente a x² + y² = 25 en P(3, 4).

pendiente de OP = 43
pendiente de la tangente = −34, porque 43 × −34 = −1

La tangente es y = −34x + c. Sustituye P(3, 4) para hallar c:

4 = −34 × 3 + c = −94 + c
c = 4 + 94 = 254

Multiplica y = −34x + 254 por 4. Obtienes 4y = −3x + 25, es decir, 3x + 4y = 25.

Compruébalo con el discriminante. Al sustituir en la circunferencia sale x² − 6x + 9 = 0. Entonces D = 36 − 36 = 0. Hay un solo punto en común: (3, 4).

En P(5, 0) el radio es horizontal. Entonces la tangente es vertical: x = 5. Una recta vertical no tiene pendiente.