Intervallen op de getallenlijn

Bij een waterpark staat een bord bij de hoogste glijbaan: je moet minstens 1,20 m lang zijn. Ben je precies 1,20 m, dan mag je erop. Ben je 1,19 m, dan niet. Noem je lengte l. Het bord zegt dan:

l ≥ 1,20

Zo'n voorwaarde heet een ongelijkheid. Alle getallen die eraan voldoen liggen aaneen op de getallenlijn. Zo'n stuk van de getallenlijn heet een interval. In dit artikel leer je intervallen tekenen en uitrekenen.

Een stuk van de getallenlijn

Neem alle getallen tussen −2 en 3. Daar horen niet alleen gehele getallen bij. Ook 0,5 en √2 liggen ertussen. Bij de grenzen moet je nog iets kiezen.

• Een dichte stip betekent dat de grens erbij hoort. In de ongelijkheid staat ≤ of ≥. In het interval staat een rechte haak: [ of ].
• Een open rondje betekent dat de grens er niet bij hoort. In de ongelijkheid staat < of >. In het interval staat een punthaak: ⟨ of ⟩.

Drie voorbeelden met dezelfde grenzen:

−2 < x < 3 is ⟨−2, 3⟩
−2 ≤ x ≤ 3 is [−2, 3]
−2 < x ≤ 3 is ⟨−2, 3]

Sleep de grenzen hieronder. Met de knoppen maak je een grens open of dicht.

Sleep de grenzen

−2 < x ≤ 3⟨−2, 3]

Linkergrens: openRechtergrens: dicht

Ongelijkheid

−2 < x ≤ 3

Interval

⟨−2, 3]

Gehele getallen erin

5: −1, 0, 1, 2, 3

Het kleinste getal staat altijd links, net als op de getallenlijn. ⟨−2, 3] lees je als: alle getallen groter dan −2 en kleiner dan of gelijk aan 3.

Tot in het oneindige

Het bord bij de glijbaan heeft maar één grens. Elke lengte vanaf 1,20 m is goed, hoe lang je ook bent. Zo'n interval loopt aan één kant door tot in het oneindige. Het heet een halve lijn.

Aan die kant staat geen getal maar een pijl:

x ≥ 4 is [4, →⟩
x < 1 is ⟨←, 1⟩

Bij de pijl staat altijd een punthaak. Oneindig is geen getal. Je bereikt het nooit, dus het hoort er ook nooit bij.

Kies hieronder een teken en sleep de grens.

Een halve lijn

x <x ≤x >x ≥

x ≥ 4[4, →⟩

Ongelijkheid

x ≥ 4

Interval

[4, →⟩

Grens hoort erbij

ja

Andersom gaat net zo. ⟨−1, 5] wordt −1 < x ≤ 5. En [0, →⟩ wordt x ≥ 0.

Een ongelijkheid oplossen

Een ongelijkheid los je bijna net zo op als een vergelijking. Je mag aan beide kanten hetzelfde getal optellen of aftrekken. Je mag beide kanten met hetzelfde positieve getal vermenigvuldigen of erdoor delen. Bij een negatief getal gaat het anders.

Neem 3 − 2x < 7.

3 − 2x < 7
−2x < 4 (beide kanten − 3)
x > −2 (beide kanten ÷ −2, het teken draait om)

De oplossing is x > −2, dus ⟨−2, →⟩.

Het omdraaien komt door een spiegel. Keer −1 spiegelt de getallenlijn in 0. Wat links lag, ligt daarna rechts. Sleep a en b hieronder en let op de volgorde.

Keer −1 spiegelt de getallenlijn

• a
• b

Voor keer −1

2 < 5

Na keer −1

−2 > −5

Toon de getallen

punt	getal	keer −1
a	2	−2
b	5	−5

2 is kleiner dan 5. Maar −2 is groter dan −5. Delen door −2 is hetzelfde als keer −1 en dan delen door 2. Daarom draait het teken om.

Controleer je antwoord met een getal. Neem x = 0. Dat ligt in ⟨−2, →⟩. Je krijgt 3 − 0 = 3, en 3 < 7 klopt. Neem x = −3. Dat ligt erbuiten. Je krijgt 3 + 6 = 9, en 9 < 7 klopt niet.

Twee tekens tegelijk

Soms staat x tussen twee grenzen in één ongelijkheid. Dan doe je elke stap met alle drie de delen.

−1 ≤ 2x + 3 < 9
−4 ≤ 2x < 6 (alle delen − 3)
−2 ≤ x < 3 (alle delen ÷ 2)

De oplossing is [−2, 3⟩.

Twee voorwaarden: en, of

Soms zijn er twee voorwaarden. Het woord ertussen maakt veel uit.

• En: een getal moet aan allebei voldoen. Je houdt alleen over waar de twee intervallen overlappen.
• Of: een getal moet aan minstens één voldoen. Je neemt beide stukken samen. Daarvoor schrijf je het teken ∪.

Twee voorbeelden:

x > −1 en x ≤ 3 geeft ⟨−1, 3]
x < −2 of x ≥ 1 geeft ⟨←, −2⟩ ∪ [1, →⟩

Sleep hieronder de grenzen van A en B. Kies dan en of of.

A en B, A of B

A en BA of B

• A
• B
• Oplossing

A

[−4, 2]

B

[−1, 5]

A en B

[−1, 2]

Oplossing

−1 ≤ x ≤ 2

Liggen A en B uit elkaar, dan blijft er bij en geen enkel getal over. Bij of houd je dan twee losse stukken.

Tweedegraadsongelijkheden

Dit stuk is wiskunde B, MULO 4.

Neem x² − 7x + 12 < 0. Bekijk de grafiek van y = x² − 7x + 12. Je zoekt de x-waarden waar de grafiek onder de x-as ligt.

Zoek eerst de nulpunten. Ontbind:

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 of x = 4

Het getal voor x² is 1. Dat is positief, dus de grafiek is een dalparabool. Die ligt alleen tussen de nulpunten onder de x-as. De grenzen horen er niet bij, want daar is y = 0. De oplossing is ⟨3, 4⟩.

Controleer met x = 3,5: 12,25 − 24,5 + 12 = −0,25. Dat is kleiner dan 0, dus het klopt.

Schuif hieronder met c en kies een teken. Het dikke stuk op de x-as is de oplossing.

Onder of boven de x-as

c = 12

< 0≤ 0> 0≥ 0

x² − 7x + 12 < 0⟨3, 4⟩

• y = x² − 7x + c
• Oplossing

Nulpunten

x = 3 en x = 4

Oplossing

⟨3, 4⟩

Toon de getallen

x	y	teken van y
0	12	+
1	6	+
2	2	+
3	0	0
4	0	0
5	2	+
6	6	+
7	12	+

Bij c = 12,25 raakt de parabool de x-as in één punt. Bij c = 14 komt hij niet meer onder de x-as. Dan heeft x² − 7x + c < 0 geen oplossing.

In het MULO-examen wiskunde B van 2017 stond deze vraag: −x² + 7x − 12 < 0. Vermenigvuldig eerst met −1. Dan draait het teken om:

x² − 7x + 12 > 0

Nu zoek je waar de dalparabool boven de x-as ligt: links van 3 en rechts van 4. Het antwoord is ⟨←, 3⟩ ∪ ⟨4, →⟩.

Probeer het zelf