Intervalos en la recta numérica

En un parque acuático hay un cartel junto al tobogán más alto: debes medir al menos 1.20 m. Si mides justo 1.20 m, puedes subir. Si mides 1.19 m, no. Llama h a tu estatura. El cartel dice entonces:

h ≥ 1.20

Una condición así es una desigualdad. Todos los números que la cumplen están juntos en la recta numérica. Ese trozo de la recta numérica es un intervalo. En este artículo aprendes a dibujar intervalos y a trabajar con ellos.

Un trozo de la recta numérica

Toma todos los números entre −2 y 3. No solo cuentan los números enteros. También 0.5 y √2 están en medio. En los extremos todavía tienes que elegir.

• Un punto relleno indica que el extremo pertenece al intervalo. La desigualdad usa ≤ o ≥. El intervalo usa un corchete: [ o ].
• Un círculo vacío indica que el extremo no pertenece. La desigualdad usa < o >. El intervalo usa un paréntesis: ( o ).

Tres ejemplos con los mismos extremos:

−2 < x < 3 es (−2, 3)
−2 ≤ x ≤ 3 es [−2, 3]
−2 < x ≤ 3 es (−2, 3]

Arrastra los extremos aquí abajo. Con los botones abres o cierras cada extremo.

Arrastra los extremos

−2 < x ≤ 3(−2, 3]

Extremo izquierdo: abiertoExtremo derecho: cerrado

Desigualdad

−2 < x ≤ 3

Intervalo

(−2, 3]

Enteros dentro

5: −1, 0, 1, 2, 3

El número menor siempre va primero, igual que en la recta numérica. (−2, 3] se lee así: todos los números mayores que −2 y menores o iguales que 3.

Hasta el infinito

El cartel del tobogán tiene un solo extremo. Sirve cualquier estatura desde 1.20 m, sin límite hacia arriba. Un intervalo así sigue sin fin hacia un lado. Se llama semirrecta.

De ese lado no hay ningún número. Escribes ∞ para el infinito:

x ≥ 4 es [4, ∞)
x < 1 es (−∞, 1)

Junto a ∞ siempre va un paréntesis. El infinito no es un número. Nunca lo alcanzas, así que nunca pertenece al intervalo.

Elige un signo aquí abajo y arrastra el extremo.

Una semirrecta

x <x ≤x >x ≥

x ≥ 4[4, ∞)

Desigualdad

x ≥ 4

Intervalo

[4, ∞)

Incluye el extremo

sí

Al revés funciona igual. (−1, 5] pasa a ser −1 < x ≤ 5. Y [0, ∞) pasa a ser x ≥ 0.

Resolver una desigualdad

Una desigualdad se resuelve casi igual que una ecuación. Puedes sumar o restar el mismo número en ambos lados. Puedes multiplicar o dividir ambos lados por el mismo número positivo. Con un número negativo cambia algo.

Toma 3 − 2x < 7.

3 − 2x < 7
−2x < 4 (restas 3 en ambos lados)
x > −2 (divides ambos lados entre −2, el signo se invierte)

La solución es x > −2, o sea (−2, ∞).

El cambio de signo viene de un espejo. Multiplicar por −1 refleja la recta numérica en el 0. Lo que estaba a la izquierda pasa a la derecha. Arrastra a y b aquí abajo y fíjate en el orden.

Por −1 se refleja la recta numérica

• a
• b

Antes de por −1

2 < 5

Después de por −1

−2 > −5

Ver los números

punto	número	por −1
a	2	−2
b	5	−5

2 es menor que 5. Pero −2 es mayor que −5. Dividir entre −2 es lo mismo que multiplicar por −1 y luego dividir entre 2. Por eso el signo se invierte.

Comprueba tu respuesta con un número. Toma x = 0. Está en (−2, ∞). Obtienes 3 − 0 = 3, y 3 < 7 es cierto. Toma x = −3. Está fuera. Obtienes 3 + 6 = 9, y 9 < 7 es falso.

Dos signos a la vez

A veces x está entre dos límites en una sola desigualdad. Entonces haces cada paso en las tres partes.

−1 ≤ 2x + 3 < 9
−4 ≤ 2x < 6 (restas 3 en todas las partes)
−2 ≤ x < 3 (divides todas las partes entre 2)

La solución es [−2, 3).

Dos condiciones: y, o

A veces hay dos condiciones. La palabra entre ellas importa mucho.

• Y: un número debe cumplir las dos. Solo queda la parte donde los dos intervalos se solapan.
• O: un número debe cumplir al menos una. Juntas los dos trozos. Para eso usas el signo ∪.

Dos ejemplos:

x > −1 y x ≤ 3 da (−1, 3]
x < −2 o x ≥ 1 da (−∞, −2) ∪ [1, ∞)

Arrastra aquí abajo los extremos de A y B. Luego elige «y» u «o».

A y B, A o B

A y BA o B

• A
• B
• Solución

A

[−4, 2]

B

[−1, 5]

A y B

[−1, 2]

Solución

−1 ≤ x ≤ 2

Si A y B están separados, con «y» no queda ningún número. Con «o» te quedan dos trozos sueltos.

Desigualdades cuadráticas

Esta parte es de matemáticas B, MULO 4.

Toma x² − 7x + 12 < 0. Mira la gráfica de y = x² − 7x + 12. Buscas los valores de x donde la gráfica está por debajo del eje x.

Primero busca las raíces. Factoriza:

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 o x = 4

El número delante de x² es 1. Es positivo, así que la parábola abre hacia arriba. Solo está por debajo del eje x entre las raíces. Los extremos no pertenecen, porque allí y = 0. La solución es (3, 4).

Comprueba con x = 3.5: 12.25 − 24.5 + 12 = −0.25. Es menor que 0, así que se cumple.

Mueve c con el deslizador y elige un signo. El trozo grueso sobre el eje x es la solución.

Debajo o encima del eje x

c = 12

< 0≤ 0> 0≥ 0

x² − 7x + 12 < 0(3, 4)

• y = x² − 7x + c
• Solución

Raíces

x = 3 y x = 4

Solución

(3, 4)

Ver los números

x	y	signo de y
0	12	+
1	6	+
2	2	+
3	0	0
4	0	0
5	2	+
6	6	+
7	12	+

Con c = 12.25 la parábola toca el eje x en un solo punto. Con c = 14 ya no baja del eje x. Entonces x² − 7x + c < 0 no tiene solución.

El examen MULO de matemáticas B de 2017 preguntó esto: −x² + 7x − 12 < 0. Primero multiplica por −1. El signo se invierte:

x² − 7x + 12 > 0

Ahora buscas dónde la parábola está por encima del eje x: a la izquierda de 3 y a la derecha de 4. La respuesta es (−∞, 3) ∪ (4, ∞). El examen lo escribió como ⟨←, 3⟩ ∪ ⟨4, →⟩.

Inténtalo tú