Intervalos na reta numérica

Num parque aquático há uma placa ao lado do tobogã mais alto: é preciso ter pelo menos 1,20 m de altura. Com exatamente 1,20 m, você pode descer. Com 1,19 m, não. Chame sua altura de h. A placa diz então:

h ≥ 1,20

Uma condição assim é uma inequação. Todos os números que a satisfazem ficam lado a lado na reta numérica. Esse pedaço da reta numérica é um intervalo. Neste texto você aprende a desenhar intervalos e a trabalhar com eles.

Um pedaço da reta numérica

Pegue todos os números entre −2 e 3. Não são só os números inteiros. 0,5 e √2 também ficam no meio. Nas pontas você ainda precisa escolher.

• Uma bolinha fechada indica que a ponta pertence ao intervalo. A inequação usa ≤ ou ≥. O intervalo usa um colchete voltado para dentro: [ ou ].
• Uma bolinha aberta indica que a ponta não pertence. A inequação usa < ou >. O intervalo usa um colchete voltado para fora: ] na esquerda, [ na direita.

Três exemplos com as mesmas pontas:

−2 < x < 3 é ]−2, 3[
−2 ≤ x ≤ 3 é [−2, 3]
−2 < x ≤ 3 é ]−2, 3]

Arraste as pontas abaixo. Com os botões você abre ou fecha cada ponta.

Arraste as pontas

−2 < x ≤ 3]−2, 3]

Ponta esquerda: abertaPonta direita: fechada

Inequação

−2 < x ≤ 3

Intervalo

]−2, 3]

Inteiros dentro

5: −1, 0, 1, 2, 3

O número menor vem sempre primeiro, como na reta numérica. ]−2, 3] se lê assim: todos os números maiores que −2 e menores ou iguais a 3.

Até o infinito

A placa do tobogã tem uma ponta só. Qualquer altura a partir de 1,20 m serve, sem limite para cima. Um intervalo assim continua sem fim para um lado. Ele se chama semirreta.

Desse lado não há número. Você escreve ∞ para o infinito:

x ≥ 4 é [4, +∞[
x < 1 é ]−∞, 1[

Junto ao ∞ o colchete fica sempre aberto. O infinito não é um número. Você nunca chega lá, então ele nunca pertence ao intervalo.

Escolha um sinal abaixo e arraste a ponta.

Uma semirreta

x <x ≤x >x ≥

x ≥ 4[4, +∞[

Inequação

x ≥ 4

Intervalo

[4, +∞[

Ponta incluída

sim

O caminho de volta é igual. ]−1, 5] vira −1 < x ≤ 5. E [0, +∞[ vira x ≥ 0.

Resolver uma inequação

Uma inequação se resolve quase como uma equação. Você pode somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados. Você pode multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número positivo. Com um número negativo algo muda.

Pegue 3 − 2x < 7.

3 − 2x < 7
−2x < 4 (subtraia 3 dos dois lados)
x > −2 (divida os dois lados por −2, o sinal se inverte)

A solução é x > −2, ou seja ]−2, +∞[.

A inversão vem de um espelho. Vezes −1 espelha a reta numérica no 0. O que estava à esquerda vai para a direita. Arraste a e b abaixo e observe a ordem.

Vezes −1 espelha a reta numérica

• a
• b

Antes de vezes −1

2 < 5

Depois de vezes −1

−2 > −5

Ver os números

ponto	número	vezes −1
a	2	−2
b	5	−5

2 é menor que 5. Mas −2 é maior que −5. Dividir por −2 é o mesmo que vezes −1 e depois dividir por 2. Por isso o sinal se inverte.

Confira sua resposta com um número. Pegue x = 0. Ele está em ]−2, +∞[. Você obtém 3 − 0 = 3, e 3 < 7 é verdade. Pegue x = −3. Ele fica fora. Você obtém 3 + 6 = 9, e 9 < 7 é falso.

Dois sinais de uma vez

Às vezes x fica entre dois limites numa inequação só. Então você faz cada passo nas três partes.

−1 ≤ 2x + 3 < 9
−4 ≤ 2x < 6 (subtraia 3 de todas as partes)
−2 ≤ x < 3 (divida todas as partes por 2)

A solução é [−2, 3[.

Duas condições: e, ou

Às vezes há duas condições. A palavra entre elas faz muita diferença.

• E: um número precisa satisfazer as duas. Sobra só a parte onde os dois intervalos se sobrepõem.
• Ou: um número precisa satisfazer pelo menos uma. Você junta os dois pedaços. Para isso se usa o sinal ∪.

Dois exemplos:

x > −1 e x ≤ 3 dá ]−1, 3]
x < −2 ou x ≥ 1 dá ]−∞, −2[ ∪ [1, +∞[

Arraste abaixo as pontas de A e B. Depois escolha «e» ou «ou».

A e B, A ou B

A e BA ou B

• A
• B
• Solução

A

[−4, 2]

B

[−1, 5]

A e B

[−1, 2]

Solução

−1 ≤ x ≤ 2

Se A e B ficam separados, com «e» não sobra nenhum número. Com «ou» ficam dois pedaços soltos.

Inequações do segundo grau

Esta parte é de matemática B, MULO 4.

Pegue x² − 7x + 12 < 0. Olhe o gráfico de y = x² − 7x + 12. Você procura os valores de x onde o gráfico fica abaixo do eixo x.

Primeiro ache as raízes. Fatore:

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 ou x = 4

O número na frente de x² é 1. Ele é positivo, então a parábola tem a boca para cima. Ela só fica abaixo do eixo x entre as raízes. As pontas não pertencem, porque ali y = 0. A solução é ]3, 4[.

Confira com x = 3,5: 12,25 − 24,5 + 12 = −0,25. Isso é menor que 0, então está certo.

Mova c no controle deslizante e escolha um sinal. O trecho grosso sobre o eixo x é a solução.

Abaixo ou acima do eixo x

c = 12

< 0≤ 0> 0≥ 0

x² − 7x + 12 < 0]3, 4[

• y = x² − 7x + c
• Solução

Raízes

x = 3 e x = 4

Solução

]3, 4[

Ver os números

x	y	sinal de y
0	12	+
1	6	+
2	2	+
3	0	0
4	0	0
5	2	+
6	6	+
7	12	+

Com c = 12,25 a parábola toca o eixo x num ponto só. Com c = 14 ela não desce mais abaixo do eixo x. Então x² − 7x + c < 0 não tem solução.

A prova MULO de matemática B de 2017 perguntou isto: −x² + 7x − 12 < 0. Primeiro multiplique por −1. O sinal se inverte:

x² − 7x + 12 > 0

Agora você procura onde a parábola fica acima do eixo x: à esquerda de 3 e à direita de 4. A resposta é ]−∞, 3[ ∪ ]4, +∞[. A prova escreveu ⟨←, 3⟩ ∪ ⟨4, →⟩.

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